作者：石川

多品種構(gòu)建的價(jià)差很難滿足一價(jià)定理、不易回歸；針對這類價(jià)差的統(tǒng)計(jì)套利策略的風(fēng)險(xiǎn)收益比很差。本文介紹一種新的均值回歸思路。

1 金融市場的均值回歸

在量化投資領(lǐng)域，均值回歸（mean reversion）代表著一大類策略。金融市場的均值回歸定義如下：

In finance,?mean reversion?is the assumption that a stock's?price?will tend to move to the average price over time.

我們可以把上述定義中的“股票”換成其他任何投資品。這個(gè)定義中最核心的兩個(gè)字是“價(jià)格”（而不是投資品的“收益率”）：

請暫停一下，花幾秒鐘體會(huì)一下上面這兩句話。它們是所有均值回歸策略的核心，也是本文的核心。先鋒基金（Vanguard）的創(chuàng)始人 John Bogle 曾教導(dǎo)我們說，在金融市場，均值回歸是一條鐵律。確實(shí)，投資品的價(jià)格不可能一直漲或者一直跌，拿出任何一段時(shí)間來看，它似乎總是圍繞著局部的均值上下往復(fù)波動(dòng)，呈現(xiàn)出圍繞著均值的回歸運(yùn)動(dòng)。但是這種程度的回歸對于在統(tǒng)計(jì)上構(gòu)建一個(gè)有效的量化策略并沒有太多的幫助。

在現(xiàn)實(shí)中，為了構(gòu)建一個(gè)均值回歸策略，我們要求價(jià)格的時(shí)間序列滿足平穩(wěn)性。顯然，單一投資品的價(jià)格是很難滿足這個(gè)假設(shè)的。于是量化界的小伙伴們便開動(dòng)腦筋，終于發(fā)現(xiàn)雖然單一投資品的價(jià)格不滿足均值回歸，但是可以把多個(gè)投資品（通常是兩個(gè)）線性組合在一起，使它們的價(jià)差滿足均值回歸。

配對交易就是當(dāng)下市場上主流的構(gòu)建均值回歸策略的方法。它通常利用協(xié)整（co-integration）或者價(jià)格距離法來找到這樣一對投資品，并認(rèn)為它們的價(jià)差會(huì)在一定的區(qū)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，然后基于價(jià)差的統(tǒng)計(jì)特性計(jì)算閾值進(jìn)行交易，因此這種策略通常又叫統(tǒng)計(jì)套利（statistical arbitrage）。本文介紹一種新的均值回歸思路。不過在此之前，還是讓我們先來看看市場上流行的這兩種投資品配對方法。

2 協(xié)整

我們都知道收益率序列滿足平穩(wěn)性，而價(jià)格序列不滿足平穩(wěn)性。收益率滿足平穩(wěn)性僅僅說明價(jià)格呈現(xiàn)隨機(jī)游走，它對于構(gòu)建賺錢的投資策略沒什么用。我們想要的是價(jià)格序列呈現(xiàn)出平穩(wěn)性。但凡事都有一個(gè)例外：雖然單一投資品的價(jià)格不滿足平穩(wěn)性，但有時(shí)把多個(gè)投資品（通常是兩個(gè)）線性組合在一起構(gòu)成一個(gè)價(jià)差序列，該序列滿足平穩(wěn)性。在數(shù)學(xué)上，如果多個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列通過線性組合得到一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，則把滿足這種關(guān)系稱為協(xié)整（co-integration）。《小心偽回歸發(fā)現(xiàn)的假關(guān)系》一文介紹了協(xié)整發(fā)生的原因。對于兩個(gè)投資品的價(jià)格序列，它們的價(jià)格都表現(xiàn)出了一定的隨機(jī)性。如果它們的隨機(jī)性來自同一個(gè)隨機(jī)過程（共同的因素），則說它們滿足協(xié)整關(guān)系，并可以通過一定的線性組合把這個(gè)共同的隨機(jī)因素剔除掉，而剩下滿足平穩(wěn)性的價(jià)差序列。在數(shù)學(xué)上，可以使用 ADF test 來檢驗(yàn)一個(gè)價(jià)差序列是否滿足平穩(wěn)性。

EWA 和 EWC 是一對兒滿足協(xié)整的經(jīng)典例子。它們分別代表澳大利亞（EWA）和加拿大（EWC）股指的兩個(gè) ETFs。由于這兩個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)都主要依靠商品，因此可以認(rèn)為這兩個(gè)股指的波動(dòng)來自共同的因子。下圖為這兩個(gè) ETFs 的價(jià)格序列（左圖）和回歸得到的價(jià)差序列（右圖）。

對價(jià)差進(jìn)行 ADF 檢驗(yàn)，得到的統(tǒng)計(jì)值為 -4.09（p-value 為 0.0065），小于顯著性 1% 對應(yīng)的閾值 -3.96，因此在 1% 的顯著性水平下拒絕原假設(shè)。ADF 檢驗(yàn)說明該價(jià)差序列滿足平穩(wěn)性，即 EWA 和 EWC 滿足協(xié)整關(guān)系。

3 價(jià)格距離方法

再來看看另一種方法：價(jià)格距離法。該方法的主要參考文獻(xiàn)是 Gatev et al. (2006)。該文的作者指出，尋找配對的一種方法是看兩個(gè)投資品標(biāo)準(zhǔn)化后的價(jià)格序列是否足夠接近 —— 即在尋找配對的形成期這兩個(gè)投資品標(biāo)準(zhǔn)化后的累積價(jià)差是否足夠小。關(guān)于為什么采用這種方法找配對，該文作者給出的解釋如下：

We use this approach because it best approximates the description of how traders themselves choose pairs. Interviews with pairs traders suggest that they try to find two stocks whose prices "move together".

假設(shè)形成期的長度為 T，期內(nèi)的某投資品 i 的價(jià)格序列為P_i0, P_i1, …, P_iT。在這種方法中，首先以 P_i0 為基準(zhǔn)將價(jià)格序列轉(zhuǎn)化為對數(shù)價(jià)格（這相當(dāng)于把 t 時(shí)刻的價(jià)格轉(zhuǎn)化成 0 到 t 之間的對數(shù)收益率），然后再計(jì)算 T 期內(nèi)任意兩個(gè)投資品 i 和 j 的價(jià)格偏差平方和（記為 D_ij）：

在沒有任何限制的版本中，任意兩個(gè)投資品（比如兩支股票或者兩種不同的商品期貨）都會(huì)被使用這種方法來計(jì)算它們之間價(jià)格走勢的相似程度。在有限制的版本中 —— 或者說是從業(yè)務(wù)上出于防止過擬合的考慮 —— 上述計(jì)算僅僅被應(yīng)用于同一行業(yè)的股票（比如不同的銀行）或者同一種類的商品期貨（比如農(nóng)產(chǎn)品或者化工），以杜絕僅僅因?yàn)榍珊隙鴽]有業(yè)務(wù)邏輯支撐的配對兒（Bianchi et al. 2009）。

當(dāng)所有潛在的投資品兩兩計(jì)算價(jià)格距離之后，距離最小的那些配對兒就被認(rèn)為是滿足價(jià)格一起運(yùn)動(dòng)，即它們的價(jià)差會(huì)在未來一段時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)均值回歸，因此被用來交易。交易的規(guī)則就是經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)套利，當(dāng)價(jià)差的取值較歷史均值偏離兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，就進(jìn)行做多或者做空價(jià)差的操作。下圖是 Gatev et al. (2006) 給出的一個(gè)按上述方法找出的股票配對交易的例子。

我們使用國內(nèi)商品期貨數(shù)據(jù)簡單測試過這種配對兒方法。結(jié)論是，它在形成期內(nèi)確實(shí)能找到價(jià)格走勢非常接近的商品配對兒，但是這些商品在交易期內(nèi)（即相對配對兒來說是樣本外）的走勢相當(dāng)不一致。事實(shí)上，我們發(fā)現(xiàn)沒有任何業(yè)務(wù)層面的機(jī)制來約束它們繼續(xù)一起移動(dòng)，因此其價(jià)差也就根本不滿足均值回歸，上述方法在國內(nèi)市場上的有效性仍然是個(gè)大大的問號(hào)。

4 配對交易的不足

均值回歸策略的特點(diǎn)是“收益有限、風(fēng)險(xiǎn)無限”。上述兩種使用協(xié)整和價(jià)格距離構(gòu)建配對交易的策略在這方面體現(xiàn)的可謂是淋漓盡致。

來看前半句，即便是能找到兩個(gè)靠譜的投資品，使它們的價(jià)差呈現(xiàn)穩(wěn)定的均值回歸特性，基于這個(gè)價(jià)差的策略的交易次數(shù)也會(huì)非常少。這是因?yàn)橹挥挟?dāng)價(jià)差偏離到一定的程度（比如 2 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外），策略才可能進(jìn)行交易，而這種偏離發(fā)生的頻率非常低。所以，這類策略通常在很長時(shí)間內(nèi)都沒有任何交易。下圖是利用 EWA 和 EWC 這兩個(gè) ETFs 構(gòu)建的配對交易（關(guān)于這個(gè)策略的更具體的描述，請參考《均值回歸：循規(guī)蹈矩，偶發(fā)癲狂》）。該策略的年化連續(xù)收益率為 8.72%，最大回撤 -9.38%。從凈值和最大回撤曲線中看出很大的一部分收益來自 2009 年；在 2013 年到 2015 年間，策略發(fā)生了長達(dá) 758 個(gè)自然日的回撤。

再來看看后半句。由于被用來配對的投資品之間很難滿足一價(jià)定理，所以沒有任何金融業(yè)務(wù)上的核心邏輯來保證價(jià)差會(huì)一直滿足均值回歸。比如 Brent 和 WTI 這兩種原油，它們的價(jià)格走勢應(yīng)該非常接近。而這二者的價(jià)差（下圖）在 2011 年之前也確實(shí)呈現(xiàn)出穩(wěn)定的均值回歸特性。但是從 2011 年開始風(fēng)云突變，這兩種油的走勢就不再一致，它們的價(jià)差也幾乎沒有表現(xiàn)出任何回歸的現(xiàn)象。不難想象一個(gè)交易該價(jià)差的策略在價(jià)差突破歷史閾值之后不但沒有回歸、反而持續(xù)迅速擴(kuò)大時(shí)的絕望。

基于上述原因，大量的實(shí)證顯示，這類策略的收益風(fēng)險(xiǎn)比較差。既然找到多個(gè)投資品并構(gòu)建一個(gè)滿足均值回歸的價(jià)差不是特別靠譜，那么有沒有更好的辦法呢？究其核心，構(gòu)建一個(gè)均值回歸策略需要的是找到一個(gè)具有負(fù)的自相關(guān)性的收益率序列。正是由于投資品的絕對收益率幾乎是隨機(jī)的（沒有統(tǒng)計(jì)上顯著的負(fù)相關(guān)性），人們才退而求其用不同的投資品構(gòu)建能夠回歸的價(jià)差（使價(jià)差收益率滿足負(fù)相關(guān)性）。雖然投資品的絕對收益率幾乎是隨機(jī)的，但是在正確的方法下，投資品的殘差收益率是可以用來構(gòu)建均值回歸策略的。這就是均值回歸的新思路。

5 因子殘差法

Yeo and Papanicolaou (2017) 提出了針對投資品（這里特指股票）殘差收益率的均值回歸策略（該研究很大程度上受到了 Avellaneda and Lee 2010 的啟發(fā)），用幾句話來高度概括一下就是：

下面我們結(jié)合上述過程中涉及到的量化模型來對每一步做一個(gè)簡要介紹。首先是通過多因子模型來求出個(gè)股的殘差對數(shù)收益率（Yeo and Papanicolaou 2017 使用了統(tǒng)計(jì)因子，即認(rèn)為因子本身是觀測不到的，而是從股票的收益率中直接提取的 —— 比如利用主成分分析這類方法）。這里使用對數(shù)收益率是為了方便之后把殘差收益率直接求和得到“殘差對數(shù)價(jià)格”的隨機(jī)過程（下文略去“對數(shù)”二字）。假設(shè) u_it 是個(gè)股 i 在第 t 期的殘差對數(shù)收益率，將 0 到 t 期內(nèi)的殘差收益率加起來就得到 t 時(shí)刻的累積對數(shù)殘差價(jià)格：

接下來，對 X_it 使用 Ornstein-Uhlenbeck (OU) 過程建模。OU 過程由 Leonard Ornstein 和 George Eugene Uhlenbeck 提出，該隨機(jī)過程滿足如下的隨機(jī)微分方程：

其中，Θ_i，μ_i，以及 σ_i 分別是針對個(gè)股 i 的模型參數(shù)，W_i 是布朗運(yùn)動(dòng)。和標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)相比，這個(gè)模型的不同之處在于上式右側(cè)的第一項(xiàng)，其中 μ_i 表示 X_it 的長均值。這一項(xiàng)說明，如果 X_it 大于（小于）μ_i，那么在下一時(shí)刻的增量 dX_it 會(huì)是負(fù)的（正的），從而使 t + 1 時(shí)刻的 X_i 傾向于向均值移動(dòng)，而 Θ_i 則代表像均值移動(dòng)的速度，因此 OU 過程滿足均值回歸特性。當(dāng)然，眾多個(gè)股之中，哪些的殘差價(jià)格更好的滿足 OU 過程需要通過參數(shù)估計(jì)來確定。為此，Yeo and Papanicolaou (2017) 考慮了三個(gè)要求：

滿足上述條件的個(gè)股則脫穎而出，它們將被用來構(gòu)建最終的投資組合。在構(gòu)建投資組合時(shí)，最核心的一點(diǎn)是：整個(gè)策略針對的都是個(gè)股殘差價(jià)格的均值回歸。因此，在投資組合中必須讓入選的個(gè)股滿足市場中性，更精確地說是滿足計(jì)算殘差收益率時(shí)使用的風(fēng)格因子中性。如果無法保證這一點(diǎn)，即便殘差價(jià)差回歸了，但是因?yàn)樵趥€(gè)別因子上仍有暴露，導(dǎo)致的股價(jià)走勢可能仍然和策略的建倉方向（多、空）不同、產(chǎn)生虧損。

具體的，在構(gòu)建最優(yōu)投資組合時(shí)，Yeo and Papanicolaou (2017) 考慮了如下因素，其中第一個(gè)就是因子中性（假設(shè)一共有 p 個(gè)因子），此外還要求了 dollar 中性（即多空對應(yīng)的資金量相同），以及總杠桿的限制。

上面的最后一條是開倉的方向（多、空）。在計(jì)算開倉信號(hào)時(shí)，Yeo and Papanicolaou (2017) 采用了傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)套利的思路，即計(jì)算信號(hào) S_it：

當(dāng) S_it > 1.25 時(shí)，做空該個(gè)股，之后當(dāng) S_it 回歸到小于 0.5 時(shí)平倉；當(dāng) S_it < -1.25 時(shí)，做多該個(gè)股，之后當(dāng) S_it 回歸到大于 -0.5 時(shí)平倉。最后來看看效果。下圖給出了這個(gè)均值回歸策略在不同時(shí)間段的凈值曲線。在 5 basis points 和 10 basis points 的交易成本假設(shè)下，該策略在不同的時(shí)間段（包括金融危機(jī)）均取得了正收益，效果還是很不錯(cuò)的。

看到這里，有的小伙伴也許會(huì)問，即便這個(gè)思路確實(shí)新穎，但是實(shí)操起來似乎還有幾個(gè)問題：

不要忙著悲觀，也許 Yeo and Papanicolaou (2017) 文中的結(jié)果有一定 data mining 的成分，但是殘差價(jià)格這背后的回歸是有合理的解釋的 —— 來自行為金融學(xué)的解釋。殘差收益率的負(fù)相關(guān)性是由于投資者的過度反應(yīng)造成的，而從某種意義上說，Yeo and Papanicolaou (2017) 是針對殘差收益率的潛在負(fù)相關(guān)性做了更加精密的定量化分析。下面就來看看來自行為金融學(xué)的例子。

6 來自行為金融學(xué)的實(shí)證

早在 1984 年，Richard Thaler（2017 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獲得者，以研究行為經(jīng)濟(jì)學(xué)而聞名）和 Werner De Bondt 寫了一篇影響深遠(yuǎn)的文章，題為“Does the stock market overreact?”（De Bondt and Thaler 1984，被引用近 8300 次）。文中，他們使用股票相對于市場的超額（殘差）收益率構(gòu)建了一個(gè)贏家組合（殘差收益率為正）和一個(gè)輸家組合（殘差收益率為負(fù)）。數(shù)據(jù)顯示，這個(gè)輸家組合在未來取得了比贏家組合（定期調(diào)倉）更高的收益，如下圖所示。

這個(gè)結(jié)果說明，殘差收益率確實(shí)有一定的負(fù)相關(guān)性，這造成了之前跑輸市場的組合在之后跑贏了市場；反之亦然。這就是為什么長期來看，輸家組合遠(yuǎn)遠(yuǎn)跑贏了贏家組合。在計(jì)算殘差收益時(shí)，DeBondt and Thaler (1984) 僅僅使用個(gè)股的收益率減去市場的收益率，并沒有考慮其他因子甚至是個(gè)股的 β。造成這種現(xiàn)象的原因正是投資者的過度反應(yīng)。

7 結(jié)語

一個(gè)均值回歸策略能否有效取決于它是否能夠保證價(jià)格時(shí)間序列回歸的機(jī)制。大量的實(shí)證顯示，純粹基于不同投資品的價(jià)格數(shù)據(jù)來找這種回歸是不太靠譜的。而行為金融學(xué)提供了全新的視角。流水的投資者，鐵打的認(rèn)知偏差。這些根深蒂固的認(rèn)知偏差產(chǎn)期存在于市場之中，使得投資品的價(jià)格和收益率表現(xiàn)出特定的性質(zhì)。如果這些行為偏差能夠被我們所用，從行為金融學(xué)的角度構(gòu)建均值回歸策略也許會(huì)大有可為。以某個(gè)顯著的市場特性作為切入點(diǎn)，使用最恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，更加精確的實(shí)現(xiàn)一個(gè)交易目標(biāo)、并獲取優(yōu)秀的風(fēng)險(xiǎn)收益，這就是量化投資的最大意義。

參考文獻(xiàn)

Avellaneda, M. and J-H. Lee (2010). Statistical arbitrage in the US equities market. Quantitative Finance 10(7), 761?– 782.

Bianchi, R., D. Michael, and R. Zhu (2009). Pairs trading profits in commodity futures markets. In: Proceedings of Asian Finance Association 2009 International Conference, June 30 – July 3, 2009, Brisbane, Queensland.

De Bondt, W. F. M. and R. Thaler (1984). Does the stock market overreact? Journal of Finance 40(3), 793 – 805.

Gatev, E., W. N. Goetzmann, and K. G. Rouwenhorst (2006). Pairs trading: Performance of a relative-value arbitrage rule. Review of Financial Studies 19(3), 797 – 827.

Yeo, J. and G. Papanicolaou (2017). Risk control of mean-reversion time in statistical arbitrage. Risk and Decision Analysis 6(4), 263 – 290.

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