作者：石川

摘要：一個有效的策略本身是不需要額外止損的。真正的止損，防范的是回測中沒有出現(xiàn)過的、但在未來可能會出現(xiàn)的未知的風(fēng)險。

1 引言

止損（stop loss），是當一項投資的虧損達到（或超過）事先設(shè)定的閾值后強制退出以避免進一步損失的行為。在二級市場投資中，止損是一個深入人心的概念。如果問一百個交易者是否需要止損，大概能夠得到 102 個肯定的回答 —— 一定會有人說“重要的事情說三遍”。

然而，到底如何理解止損呢？它真的有用嗎？今天我們就定量的來聊一聊止損。想要聊止損，首先必須給出明確的設(shè)定，即止損發(fā)生的環(huán)境。止損可以被系統(tǒng)地應(yīng)用于一個投資策略，成為該策略一個必不可少的組成部分。比如技術(shù)分析中的大部分策略，在每次建倉后，都根據(jù)價格的實際走向設(shè)定跟蹤止損線，從而決定何時平倉。對于這些策略來說，止損就是策略的一個有機的組成部分。另一方面，止損也可以被施加于某個已有投資策略之外的一種調(diào)控手段（因此它是一種 overlay strategy）。在這個設(shè)定下，當已有策略出現(xiàn)連續(xù)虧損時，止損會強行終止該策略的運行，而切換到無風(fēng)險的資產(chǎn)，直到之后某個 re-enter 條件被滿足，才再次運行該策略。

在后面這種設(shè)定下，Kaminski and Lo (2014) 針對原始策略的收益率特性討論了止損是否有效的問題。本文關(guān)于止損的解讀也就圍繞它來進行。下面我們將會看到，對于一個有效的策略，止損是沒有任何作用的，這和我們在《夏普率隨想》中提出的猜想完全一致；但是當策略本身的收益率存在一定自相關(guān)性時，止損在一定的條件下是有用的；此外，在市場狀態(tài)發(fā)生變化時（比如牛市轉(zhuǎn)換成熊市的時候），止損是有益的。

2 研究框架

假設(shè)某個投資策略 P 的（對數(shù)）收益率序列為 {r_t}，該序列滿足如下兩個條件（Kaminski and Lo 2014）：

考慮上述第 2 條的原因是，如果策略本身的收益率還不如無風(fēng)險收益率，那么止損（即從策略切換到無風(fēng)險）顯然是有益的，但這種結(jié)論沒有任何價值。因此，我們把關(guān)注點放在那些 μ 高于 r_f 的策略中。此外，定義在 t 時刻之前（包括 t）長度為 J 期的窗口內(nèi)，策略 P 的累積（對數(shù)）收益率 R_t(J) 為：

利用 R_t(J)，就可以定義這個強加于策略 P 上的止損規(guī)則了：

這個規(guī)則的文字解釋是：如果過去 J 段時間內(nèi)的策略的累積收益率小于閾值 -γ，則在下一時刻止損，將資金從策略 P 撤出并放到無風(fēng)險資產(chǎn) F 之中（exit）；如果未來某一時刻策略 P 的收益率（雖然這時資金仍投資在無風(fēng)險資產(chǎn) F 中，但原始策略 P 的表現(xiàn)仍然是可以追蹤的）大于給定的閾值 δ 后，則在下一時刻將資金從無風(fēng)險資產(chǎn) F 中取出并重新投入到策略 P 中（re-enter）。當資金處在策略 P 或者無風(fēng)險資產(chǎn) F 時，如果止損和 re-enter 的條件都不觸發(fā)，則資金的配置不變（stay in 或 stay out）。令 r_st 代表在 P 策略之上加入止損規(guī)則 S 后的收益率，它是 r_t 和 r_f 的線性組合：

?

止損的效果和規(guī)則 S 的參數(shù) γ、δ、J 以及原始策略 P 的收益率序列 {r_t} 有關(guān)。為了評價止損的效果，需要同時考慮收益和風(fēng)險；當然更重要的還是看通過止損能否提高收益。為此，定義止損溢價（stopping premium）如下，它是 r_st 和 r_t 的期望的差值：

在上面推導(dǎo)中的第二步用到了全期望公式（Law of total expectation）。由于止損溢價中考慮了止損發(fā)生的概率 p_0，因此可以將它用 p_0 歸一化得到 stopping ratio：Δμ/P_0，它衡量的是單位時間內(nèi)止損的溢價；使用 Δμ/P_0 可以比較止損規(guī)則 S 的不同參數(shù) γ、δ、J。

除了止損溢價之外，還可以計算策略 P 加入止損規(guī)則 S 之后，其方差、標準差和夏普率的變化（分別記為 Δσ^2、Δσ 和 ΔSR）：

止損溢價 Δμ（或 stopping ratio）、Δσ^2（或 Δσ）以及 ΔSR 將被用來衡量止損規(guī)則 S 是否有效的改善了原始策略 P 的風(fēng)險收益比。

3 止損對何種收益率特性有效？

下面，我們就使用上一節(jié)定義的那些指標來看看，當原始策略 P 的收益率序列 {r_t} 滿足何種特性時，本文介紹的這個止損規(guī)則 S 有效。首先來看最簡單的情況，即 r_t 滿足 IID。

3.1 策略 P 的收益率序列滿足 IID

在《夏普率隨想》中我們提出了一個定義：當一個投資策略P的收益率序列滿足 IID 且均值 μ 為正時，該策略是有效的。此外，針對這個有效性的定義提出了一個猜想：對于一個有效的策略，任何 overlay 策略都無法進一步提高它的夏普率。顯然，本文的這個止損規(guī)則就屬于一個 overlay 策略。按照上述猜想可以得出一個簡單的結(jié)論：對于一個有效的策略（收益率序列滿足 IID），任何止損規(guī)則都無法提高它的夏普率。馬上來看看該結(jié)論是否成立。

Kaminski and Lo (2014) 指出，在 IID 這種情況下，止損規(guī)則帶來的效果為：

Δμ < 0 說明，當 P 的收益率滿足 IID 時，止損只會降低策略的收益。將 Δμ 和 Δσ^2 代入到 ΔSR 的表達式中并推導(dǎo)可得：

這個結(jié)果說明，使用了止損這個 overlay 策略之后，夏普率的變化 ΔSR 是小于 0 的，即無法通過止損來進一步提高有效策略 P 的夏普率。這和上述猜想一致。

3.2 策略 P 的收益率序列滿足 AR(1) 自相關(guān)性

下面來看看復(fù)雜的情況 —— P 的收益率序列存在 AR(1) 自相關(guān)性。在我們的頂一下，這種策略是非有效的，由于收益率之間不滿足 IID，它在時間序列上還有相關(guān)性可挖掘，以此來進一步提高策略的有效性。只不過，本文涉及的止損規(guī)則 S 僅僅是所有 overlay 策略的一種，它并不一定對所有的自相關(guān)性都有好的效果。一個 AR(1) 模型描述的收益率序列滿足一下關(guān)系式，其中最重要的參數(shù)是自相關(guān)系數(shù) ρ：

當 ρ > 0 時說明收益率有正的自相關(guān)性；當 ρ < 0 時說明收益率有負的自相關(guān)性。當存在自相關(guān)性時，止損 S 帶來的 Δμ 等指標沒有簡單的解析式，但 Kaminski and Lo (2014) 還是指出 Δμ/P_0 滿足如下不等式：

這個關(guān)系式說明，只有當收益率序列的自相關(guān)性 ρ 不小于策略 P 的夏普率時，止損溢價才大于 0。因此，對于ρ < 0 的情況，止損就鐵定沒戲了。這不難理解。ρ < 0 說明策略本身的收益率之間滿足負相關(guān)。一旦之前跌了很多了（以至于可以觸發(fā)止損），就往往意味著該策略的收益率要從負的變成正的了（負相關(guān)）。如果這時候止損，則會錯過策略的反彈，因此止損造成的效果為負。而當 ρ > 0 時，如果它足夠大，那么止損是有益的。ρ > 0 以為這策略 P 的收益率有一定的趨勢。這可能是由于策略本身是針對投資標的的趨勢追蹤策略，又或者是什么高級策略 —— 不管標的有沒有優(yōu)勢，該策略的收益率序列都體現(xiàn)出了趨勢。總之，一旦策略的收益率有正相關(guān)性，且策略最近一直在跌，那么正相關(guān)性說明該策略在未來可能會繼續(xù)跌；在這種情況下，采用止損規(guī)則切換到無風(fēng)險投資品上則是有幫助的。下面兩張圖來自 Kaminski and Lo (2014)。它們是針對 S&P 500 的期貨合約采用不同止損參數(shù)下，止損溢價和止損帶來的夏普率變化?？梢?，即便 S&P 500 給我們的印象是隨機的，它也存在一定的局部自相關(guān)性，而止損可以利用它來提高策略的風(fēng)險收益比。

4 止損在牛熊轉(zhuǎn)換時的作用

對于過去十年的 A 股來說，最簡單、有效的策略無疑就是通過趨勢追蹤抓住三波牛市，而避開對應(yīng)的三波熊市。換句話說，對于一個多頭策略，在熊市出現(xiàn)后，根據(jù)止損規(guī)則離場是正確的選擇。如果把牛、熊市看成兩個不同的市場狀態(tài)，那么本文介紹的數(shù)學(xué)模型是可以證明止損的價值。

令 I_t = 1 表示 t 時刻市場處于牛市，I_t = 0 表示 t 時刻市場處于熊市。令 p = Prob(I_t=0|s_t=0)，即止損發(fā)生時，市場恰為熊市的條件概率。可以證明，只要 p 滿足如下關(guān)系式，那么止損就是有價值的：

其中 μ_1 和 μ_2 分別為牛、熊市時這個持有市場這個多頭策略的收益率均值，并假設(shè) μ_1 > r_f > 0 > μ_2。在牛熊轉(zhuǎn)換時，由于 μ_1 顯著大于 0 而 μ_2 顯著小于 0，因此上述關(guān)系是很容易實現(xiàn)的，說明在熊市時，我們應(yīng)該果斷止損離場，將資金轉(zhuǎn)移到無風(fēng)險資產(chǎn)上。然而，與理論相違背的是，由于各種行為金融學(xué)的認知偏差，人們在股票（或者大盤）下跌時，是很難賣出手中的股票的。帶著這個問題，下面展開我們對止損這個行為更深層次的思考。

5 更深層次的思考

作為本文的總結(jié)，我們從三個層次來思考止損的作用。首先來看看在市場處于下跌趨勢中，能否堅決止損對于投資者的作用。

If only I had gotten out sooner, I wouldn't have lost so much.

這是 2008 年次貸危機之后無數(shù)投資者的后見之明。但可惜，它不是先見之明，因此大量的投資者虧的血本無歸。從行為金融學(xué)的角度來說，人們在市場中表現(xiàn)出了各種認知偏差。在面對虧損時，投資者的風(fēng)險偏好提升，不愿意賣出已經(jīng)虧損的標的，認為只要沒賣出，就沒有真的虧。然而，是否賣出并不應(yīng)該基于之前買入時的沉沒成本，而是應(yīng)該基于對于未來走勢的判斷。如果未來股價會繼續(xù)下跌，那么無論買入時的成本是多少，及時止損都是正確的做法。在市場中，由于羊群效應(yīng)的存在，無論是個股還是大盤指數(shù)，它的漲跌都是有趨勢的。如果持有了持續(xù)虧損的頭寸，那么當虧損到達閾值時，最合理的做法就是止損，而非繼續(xù)持有 —— 盡管止損是非常反人性的。如今，數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明了在這種情況下（收益率的正相關(guān)性）止損的好處，就看在現(xiàn)實中有多少投資者能夠戰(zhàn)勝自己的認知偏差了。

在第二個層面，我們重申本文的核心觀點之一：一個有效的策略的收益率滿足 IID，因此在這個層面不需要 overlay 止損規(guī)則。對于一個有效的（量化投資）策略，在設(shè)計它時已經(jīng)考慮并充分挖掘了各種能夠利用的收益率時序相關(guān)性。因此，沒有任何 overlay 策略可以進一步提高它的夏普率。在這樣一個策略中，策略自身當然也會做出加倉、減倉甚至清倉的操作。但是，策略的減倉和清倉操作并不是傳統(tǒng)意義上的止損 —— 策略減倉或清倉不是為了“制止虧損”，而是因為它認為投資標的未來還會繼續(xù)跌。因此，這樣的操作屬于策略本身的一部分，而在這種操作下策略有效（收益率滿足 IID），不需要額外的止損規(guī)則。作為挖掘策略收益率時序相關(guān)性而存在的止損僅僅說明策略本身是非有效的。

最后，來看看第三個層面。對于一個有效的策略，止損是否一定沒有價值呢？答案也是否定的。對于有效的策略，止損的價值在于策略之外，防止策略失效，它是作為風(fēng)控手段而存在的。市場中從來就不缺少 unknown unknowns，因此真正的止損，防范的是回測中沒有出現(xiàn)過的、但在未來可能會出現(xiàn)的未知的風(fēng)險。這才是止損的最大價值。

參考文獻

Kaminski, K. M. and A. W. Lo (2014). When do stop-loss rules stop losses? Journal of Financial Markets 18(C), 234 – 254.

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