殘差動量 —— 有理有據(jù)還是數(shù)據(jù)挖掘？
發(fā)布時間：2019-12-04 | 來源: 川總寫量化
作者：BetaPlus 小組（石川，劉洋溢，刀疤連）
摘要：與傳統(tǒng)動量不同，殘差動量在 A 股效果顯著。但這背后是有理有據(jù)還是數(shù)據(jù)挖掘？
1 引言
動量，更確切地說是 Jegadeesh and Titman (1993) 提出的截面相對強弱，一直以來是美股生命力最旺盛的異象之一。無論是 Fama and French (1993) 三因子模型還是 Fama and French (2015) 五因子模型均無法解釋動量策略（Blitz et al. 2018），因此 Eugene Fama 也不得不承認它是最顯著的異象。
在美股上，動量策略雖然長期來看很不錯，但這種做多前期 Winner 做空前期 Loser 的對沖組合卻時不時會來個 crash，俗稱動量崩潰（momentum crash），即動量策略會遭遇不多但持續(xù)時間長、幅度大的下跌。學術(shù)界的研究認為這和該組合的動態(tài)風險敞口有關(guān)。Geczy and Samonov (2013) 基于超長的美國股市數(shù)據(jù)指出，動量效應(yīng)對于市場組合有著動態(tài)的暴露，具體敞口則取決于市場狀態(tài)。當市場從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一種狀態(tài)的初期，動量組合對于最新市場狀態(tài)有著負的暴露，從而導致市場轉(zhuǎn)換期的大幅損失。Daniel and Moskowitz (2016) 發(fā)現(xiàn)動量崩潰與該策略的尾部風險有關(guān)。崩潰往往發(fā)生在市場恐慌時，此時資產(chǎn)價格大跌而波動率大幅上升，這與 Geczy and Samonov (2013) 的發(fā)現(xiàn)一致。
為了改善動量策略的極端表現(xiàn)，2011 年來自 Robeco 的 David Blitz 領(lǐng)銜發(fā)表了 Blitz, Huij, and Martens (2011) 一文，提出了殘差動量（residual momentum）策略。該策略使用股票相對于 Fama and French (1993) 三因子模型的殘差收益率，經(jīng)殘差波動率調(diào)整后計算了殘差動量（因此也被稱為異質(zhì)動量，idiosyncratic momentum）。Blitz, Huij, and Martens (2011) 的實證結(jié)果顯示，該策略比傳統(tǒng)動量策略能夠獲得更高的風險收益比。除此之外，Hanauer and Windmueller (2019) 指出殘差動量在傳動動量 crash 的時期表現(xiàn)更好，能夠極大降低虧損。
盡管動量策略在美股呼風喚雨，但是它到了 A 股中似乎畫風一變、難有作為。那么，殘差動量又如何呢？Lin (2019) 一文使用 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的思路在 A 股上實證了殘差動量策略，得出了驚人的效果（下圖）。
怎么樣？多、空對沖得到的殘差動量（紅線）累積收益率穩(wěn)健上行（Panel A），滾動三年窗口的夏普率（Panel B）在整個實證窗口內(nèi)均為正，且在很高的比例下在 1.0 以上，這種表現(xiàn)讓多少風格因子汗顏？
坦白說，我們第一眼看到這個結(jié)果是不信的。再加上 Finance Research Letters 這個期刊的口碑也不是太過硬，更令人增加了幾分懷疑。殘差動量的計算方法是否合理，即其背后到底代表了什么原因？A 股市場上的殘差動量是否真的有如此驚人的表現(xiàn)？帶著這些問題，本期 BetaPlus?小組就來對殘差動量進行深度實證。
先來看看 Blitz, Huij, and Martens (2011) 提出的殘差動量計算方法。
2 有理有據(jù)？
Blitz, Huij, and Martens (2011) 使用 Fama and French (1993) 三因子模型為基準，使用股票月頻超額收益和三因子月頻收益率數(shù)據(jù)構(gòu)建時序回歸模型：
上式中，r_{i, t} 為股票 i 在第 t 月相對無風險利率的超額收益，α_i 表示三因子模型無法解釋的 abnormal return，ε_{i, t} 表示殘差。在每個 T 月初，Blitz, Huij, and Martens (2011) 構(gòu)建殘差動量的方法包括以下幾步：
1. 使用過去 36 個月的收益率數(shù)據(jù)進行上述時序回歸，得到參數(shù)估計和殘差 ε_{i, t} 序列；
2. 在上述回歸得到的 36 的 ε_{i, t} 中，僅使用 T – 12 到 T – 2 這 11 個月的殘差項 ε_{i, t}，計算這些殘差項的收益率之和；之所以舍棄最近一個月，即 T – 1 月的收益率，是類比常規(guī)動量策略對最近一個月短期反轉(zhuǎn)的規(guī)避；
3. 同樣的，使用 T – 12 到 T – 2 的這 11 個殘差項 ε_{i, t}，計算它們的標準差（也就是常說的殘差波動率）；將第二項的殘差總收益率除以殘差波動率進行標準化，就得到了最終標準化后的殘差動量；通過做多殘差動量最高的 10% 并同時做空殘差動量最低的 10% 就構(gòu)建了殘差動量因子組合。
有意思的是，Blitz, Huij, and Martens (2011) 一文僅是使用文字描述了殘差動量的計算方法，但并沒有給出任何一目了然的公式。不過最近的 Blitz, Hanauer, and Vidojevic (2018) 一文給出了明確的公式：
值得一提的是，該公式的分母中，根號內(nèi)的部分較常見的方差公式差 1/11 這個系數(shù)。但由于它不改變殘差動量排名的單調(diào)性，因此上式等價于殘差總收益被殘差波動率進行標準化。BetaPlus 小組就計算殘差動量的三個步驟有以下四點疑問。
首先，在時序回歸時，Blitz, Huij, and Martens (2011) 考慮了截距項 α_i，但是并沒有把它作為異質(zhì)動量的一部分。如果僅從“殘差”動量這個名字來看，似乎使用回歸方程的殘差計算無可厚非；但如果拋開新的動量因子叫什么，α_i 毫無疑問屬于收益率中無法被三因子模型解釋的部分。Blitz, Huij, and Martens (2011) 給出的理由是，α_i 的作用是控制模型設(shè)定偏誤，這個解釋似乎是合理的。
其次，在 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的方法中，用來計算每個 T 時刻殘差動量的殘差來自同一個時序回歸：使用 36 期月頻收益率回歸，但只選擇了 T – 12 到 T – 2 這 11 個點計算非標準化之前的殘差動量。從 OLS 回歸隱含的假設(shè)來說，殘差時間序列應(yīng)該滿足平穩(wěn)性，且由于回歸中考慮了截距項，因此這 36 個殘差項的均值嚴格等于零。因此，從數(shù)學上說這 36 個殘差項是一個均值為零的平穩(wěn)序列，而 T – 12 到 T – 2 中間的 11 個點僅僅是這個平穩(wěn)序列中的一部分。無論這部分的均值是否大于零，它的大小為什么會和該股票未來收益率正相關(guān)，而非僅僅是個隨機擾動呢（它們僅是一個均值為零的平穩(wěn)序列中的一部分）？此外，為什么不同股票中，不同平穩(wěn)殘差序列在同一段時期的殘差和大小能夠預(yù)示它們未來預(yù)期收益率的差異呢？Blitz, Huij, and Martens (2011) 一文對這些問題并未給出太多的討論。
從上面的說明中可以引出第三點疑問。如前所述，Blitz, Huij, and Martens (2011) 在每個月初 T 使用最近 36 個月進行一次回歸得到 36 個殘差，并使用其中的 11 個計算殘差動量，因此這 11 個殘差來自同一個回歸（如下圖）。
與上述方法相對應(yīng)的，可以考慮計算殘差動量的殘差來自 11 個不同的回歸。比如，對于 T 期，使用 T – 37 到 T – 2 這 36 個月的數(shù)據(jù)回歸，并僅記錄 T – 2 的殘差，記為 ε_{i, T-2}^(1)，上標 (1) 代表第 1 次回歸；然后使用 T – 38 到 T – 3 這 36 個月的數(shù)據(jù)回歸，并僅記錄 T – 3 的殘差 ε_{i, T-3}^(2)；以此類推，最終使用 T – 47 到 T – 12 這 36 個月的數(shù)據(jù)回歸，并僅記錄 T – 12 的殘差 ε_{i, T-12}^(11)。使用上述來自 11 個回歸的殘差計算殘差收益率。
雖然第二種方法聽上去有些怪怪的，也不如 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的方法易于理解，但學術(shù)界對它也有一定的研究。比如 Gutierrez and Prinsky (2007) 就使用這種方法研究了異質(zhì)動量。因此，單一回歸和多個回歸計算殘差動量有什么區(qū)別就是我們的第三個疑問。本文的實證中將會考慮這兩種方法。
最后一點疑問是在計算殘差動量時，是否有必要使用殘差標準差作為分母，對殘差動量進行標準化。對于這個操作，Blitz, Huij, and Martens (2011) 引用 Gutierrez and Prinsky (2007) 的研究指出上述標準化可以降低殘差的噪聲，得到更加純凈的異質(zhì)動量，提高殘差動量的效果。Blitz, Hanauer, and Vidojevic (2018) 的后續(xù)研究強調(diào)說無論是否標準化，殘差動量本身都可以獲得顯著的超額收益率。
關(guān)于這一點，BetaPlus 小組關(guān)注的重點是這波操作在 A 股上是否會“夸大”殘差動量的效果。上述標準化將殘差標準差作為分母，這意味著當分子上的殘差動量相同的情況下，標準化可以起到高配低異質(zhì)波動、低配高異質(zhì)波動的情況。BetaPlus?小組之前的研究《異質(zhì)波動率之謎》指出，低異質(zhì)波動率現(xiàn)象確實存在于 A 股市場，說明如此標準化肯定有助于加強殘差動量。因此，如果按照 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的方法計算的殘差動量在 A 股上有效，那么它到底因為分子的部分、分母的部分、還是兩部分均有貢獻？這就成為必須回答的問題。在接下來的實證中也將會把這兩部分拆開來看。
3 實證
本節(jié)和下一節(jié)針對 A 股進行實證分析。本節(jié)的重點是比較單一回歸（Blitz, Huij, and Martens 2011 的方法）和多次回歸計算殘差動量這兩種方法。下一節(jié)將會把殘差波動率的影響剝離開分析。在以下的分析中，實證期為 1999 年 1 月 1 日至 2019 年 9 月 30 日；在每月末構(gòu)建投資組合的時候剔除掉次新股、停牌股、風險警示股、一字漲跌停股；同時考慮等權(quán)和市值加權(quán)兩種情況。在計算殘差收益率時，采用 BetaPlus?小組維護的以月頻進行再平衡靈活版 Fama and French (1993) 三因子模型。首先來看按照 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的方法計算殘差動量的結(jié)果；結(jié)果以 portfolio test result 的方式呈現(xiàn)。下圖 1 — 3 顯示了這 10 組（第 0 組為殘差動量最低；第 9 組為殘差動量最高組）以及殘差動量因子（即第 9 組減去第 0 組）的累積收益率和風險收益特征，其中 Panel A 為等權(quán)、Panel B 為市值加權(quán)。
上述結(jié)果顯示，無論是等權(quán)還是市值加權(quán)，在 A 股上均可以觀察到顯著的殘差動量效應(yīng)（雖然本文的實證結(jié)果并沒有 Lin 2019 中的驚艷，該文僅考慮了等權(quán)的情況）。在等權(quán)下，殘差動量因子的夏普率高達 0.78，其最大回撤為 -25.35%，有效抵御了 momentum crash 風險。當采用市值加權(quán)時，殘差動量效果有所減弱，但依然顯著。這樣的結(jié)果和傳統(tǒng)截面動量因子在 A 股上的效果截然不同。當然，面對這樣的結(jié)果，我們?nèi)匀徊恢赖降资亲鳛榉帜傅臍埐畈▌勇守暙I了多少，該問題將在第四節(jié)研究。下面再來看看第二種方法，即采用 11 個回歸計算殘差收益率、再計算殘差動量的結(jié)果。下圖 4 — 6 顯示了相應(yīng)的 portfolio sort test 結(jié)果。
當采用 11 個不同的回歸時，殘差動量的效果較前一種方法變差。無論是等權(quán)還是市值加權(quán)，殘差動量因子在 2007 到 2009 年間都經(jīng)歷了長時間且大幅度的回撤。除此之外，這十個 portfolios 的單調(diào)性也變差。我們對此的猜想是，使用 11 個不同的回歸計算殘差收益率這種方法額外引入了不必要的不對稱性，即不同時期的殘差來自不同的分布。由于殘差動量的計算高度依賴參數(shù)估計的準確性，長期來看這種方法的不穩(wěn)定性更高。
需要強調(diào)的是，雖然第二種方法不如 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的方法，但這種結(jié)果上的差異仍然沒有回答上一節(jié)關(guān)于殘差動量計算方法的兩個問題：（1）為什么均值為零的平穩(wěn)序列中的一部分和未來收益率正相關(guān)；（2）為什么這部分殘差能夠解釋預(yù)期收益率的截面差異。
4 進一步實證
第三節(jié)的實證結(jié)果顯示經(jīng)標準化后的殘差動量在 A 股是有效的。本小節(jié)的實證就來回答第二個問題：殘差波動率在這方面是否起到了顯著的作用？為了控制殘差波動率（即作為分母的殘差標準差）的影響，本文采用 double dependent sort 進行分析。首先按照殘差波動率（記為 ivol）從低到高把所有股票分成五組，然后再把每組內(nèi)的股票按照原始殘差動量（記為 imom）高低分成五組。這樣一共得到 25 個投資組合，以考察每個 ivol 組內(nèi)原始殘差動量是否能夠解釋股票的預(yù)期收益率差異。圖 7、8 分別顯示了等權(quán)和市值加權(quán)下，這 25 個投資組合的年化收益率。
從圖 7、8 的結(jié)果中可以觀察到以下幾點：
1. 在控制了 ivol 之后，每組內(nèi)的 imom 基本上依然單調(diào)，呈現(xiàn)高 imom 比低 imom 組的預(yù)期收益率更高的現(xiàn)象，說明原始殘差動量就是有效的。
2. 在低 ivol 組內(nèi)，各 imom 組的收益率比其在高 ivol 組內(nèi)的對應(yīng)的 imom 組的收益率更高。
3. 從頭（imom4）尾（imom0）兩組的區(qū)分度來說，imom4 – imom0 的收益率在五個 ivol 組內(nèi)呈現(xiàn)出倒 U 形，意味著無論是低波動組還是高波動組，imom 對于截面預(yù)期收益率差異的解釋都不如在中等 ivol 組內(nèi)更好。我們對此的猜想是，在高波動組中噪音更高，且 OLS 回歸系數(shù)的標準誤和殘差標準差成正比，因此參數(shù)估計的誤差也更高，這些都對準確計算殘差動量有影響；而在低波動組中，殘差所代表的和定價有關(guān)的信息可能已經(jīng)反映在了其他風格因子上，從而降低了它的解釋能力。
4. 無論是等權(quán)還是市值加權(quán)，均能觀察到上述幾點；市值加權(quán)較等權(quán)的平均收益更低。
經(jīng)過以上的分析，我們可以說基于 Blitz, Huij, and Martens (2011) 定義的殘差動量在 A 股有效，并非依靠了低異質(zhì)波動率的原因，作為分子的原始殘差動量在沒有被標準化的情況下依然能獲得顯著的超額收益。事實上，作為 robustness check，我們也僅使用原始殘差動量（即未經(jīng)殘差波動率標準化）構(gòu)建了殘差動量因子，實證結(jié)果顯示它在 A 股上的效果甚至超過了經(jīng)標準化的版本（等權(quán)時，未經(jīng)標準化的殘差動量因子夏普率為 .82，高于經(jīng)標準化后的 .78；市值加權(quán)時，前者的夏普率為 .59，高于后者的 .58）。這樣的結(jié)果似乎足以令人興奮了。但是，我們還想拋出一個問號，并以此總結(jié)全文。
5 結(jié)語：問題比發(fā)現(xiàn)更多
毫無疑問，殘差動量 —— 無論其背后的“故事”是什么 —— 其有效的必要條件是有一個靠譜的定價模型。雖然美股上已經(jīng)有很多主流的多因子模型，但是針對 A 股卻并沒有廣泛被認可的定價模型。這讓任何研究殘差收益率的實證結(jié)果都面臨挑戰(zhàn)。在計算殘差動量的時候，Blitz, Huij, and Martens (2011) 以控制模型設(shè)定偏誤為由舍去了回歸中的 α_i。面對這種處理，我們?nèi)匀缓芎闷?，如果帶?α_i 又會怎樣？從 A 股上的實證結(jié)果來看，帶上 α_i 之后，殘差動量翻車了……仍然以 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的方法獲得殘差收益率，在計算殘差動量時，使用 T – 12 到 T – 2 期之間的 α_i 和殘差總收益之和作為分子：
以等權(quán)為例，在上述定義下，殘差動量變成了殘差反轉(zhuǎn)（圖 9）。除此之外，我們也嘗試了在時序回歸計算殘差收益率時不加入截距項，也得到了殘差反轉(zhuǎn)的結(jié)果。
作為開放性的問題，本文并不試圖對上述看起來十分矛盾的結(jié)果進行更深入的討論。只是希望通過它們說明，在使用殘差收益率構(gòu)建因子的時候，模型怎么設(shè)定、參數(shù)如何估計都會直接影響因子的計算，且有時甚至產(chǎn)生完全相反的效果，因此必須要搞清楚每一步的原因是什么，以免陷入數(shù)據(jù)挖掘。
前文《給你的動量策略加點“料”》曾指出，傳統(tǒng)動量策略之所以有效和人們的有限注意力（limited attention）有關(guān)，并以此作為一個維度改進了傳統(tǒng)動量。由于大腦中的資源有限，一系列頻繁但微小的變化對于人的吸引力遠不如少數(shù)卻顯著的變化；因此投資者對于連續(xù)信息造成的股價變化反應(yīng)不足。隨著時間的推移，這些信息緩慢的被吸收并反映到價格中，從而導致了動量。而對于殘差動量，Blitz, Huij, and Martens (2011) 認為也可以從 gradual-information-diffusion 假說解釋：信息在投資者之間的擴散是緩慢的，而且相比于影響所有公司的公共事件，投資者對于那些針對公司的特定事件的反應(yīng)則更加遲緩，這就形成了殘差動量。
從投資者的反應(yīng)不足來解釋動量和殘差動量似乎是站的住腳的。而對于美股市場，動量和殘差動量雙雙有效，且殘差動量的效果優(yōu)于傳統(tǒng)動量這個結(jié)果也是可以支持上述假說的。但是 A 股……在動量如此不好使的前提下，僅僅使用了一個同樣對于 A 股也不那么完美的定價模型計算出殘差，就得到了如此好使的殘差動量。這背后的原因恐怕比殘差動量這個簡單的公式要復雜得多。
參考文獻
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