作者：石川

摘要：使用收益率序列計(jì)算夏普率、并比較不同策略時(shí)應(yīng)使用科學(xué)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法并回答正確的問題。這需要合理的先驗(yàn)和足夠長(zhǎng)的數(shù)據(jù)。

1 引言

資產(chǎn)配置是投資中最重要的課題之一。很多量化手段都被用來進(jìn)行資產(chǎn)配置，比如人們耳熟能詳?shù)暮?jiǎn)單多樣化、風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)、波動(dòng)率倒數(shù)、最小波動(dòng)率等方法。在《你真的搞懂了風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)嗎？》一文中我們指出，當(dāng)資產(chǎn)之間相互獨(dú)立時(shí)，應(yīng)按照每個(gè)資產(chǎn)的夏普率平方來分配投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，這能夠最大化投資組合的夏普率。令 Σ 表示資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣、SR_i = μ_i/σ_i 表示資產(chǎn) i 的夏普率、σ_p 表示投資組合的波動(dòng)率、ω 為權(quán)重向量。容易證明（下圖）當(dāng)投資品相互獨(dú)立時(shí)（協(xié)方差矩陣是對(duì)角陣），根據(jù)夏普率平方分配風(fēng)險(xiǎn)得到的權(quán)重 ω_i 和 μ_i/(σ_i)^2 成正比。這個(gè)比例正是大名鼎鼎的凱利準(zhǔn)則（Kelly criterion）。在資產(chǎn)相互獨(dú)立的假設(shè)下，按此權(quán)重配置保證了投資組合的夏普率最大。

在實(shí)際資產(chǎn)配置中，涉及的資產(chǎn)一般為不同類別的大類資產(chǎn)（如股票、債券、商品、外匯等）或者是相關(guān)性很低的投資策略，資產(chǎn)間可近似假設(shè)不相關(guān)。量化配置的核心就變成是否能準(zhǔn)確的計(jì)算不同資產(chǎn)的夏普率（或者其他風(fēng)險(xiǎn)、收益指標(biāo)）。

下面以滬深 300、美國 7-10 年國債、標(biāo)普 500 和黃金四種資產(chǎn)比較一下按夏普率平方分配風(fēng)險(xiǎn)配置（下文中簡(jiǎn)稱為按夏普率配置）和簡(jiǎn)單多樣化配置的效果。這四類資產(chǎn)在回測(cè)期內(nèi)的表現(xiàn)如下（該實(shí)證例子來自 2017 年底的《主動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算初探》一文，因此回測(cè)期僅到 2017 年底）。

對(duì)于按夏普率配置策略，選擇月頻交易頻率，每個(gè)月末調(diào)倉。調(diào)倉時(shí)排除最近三個(gè)月內(nèi)收益率均值為負(fù)以及由于未上市因而不可交易的資產(chǎn)（例如在 2003 年 3 月 31 日，滬深 300 指數(shù)尚未推出，不可交易）。對(duì)于滿足條件的資產(chǎn)，采用 20 周滾動(dòng)窗口的周頻收益率數(shù)據(jù)計(jì)算夏普率；按照夏普率的平方來分配風(fēng)險(xiǎn)、計(jì)算最佳的配置權(quán)重。如果當(dāng)期所有資產(chǎn)都被排除，則在下個(gè)月空倉。非空倉時(shí)則要求每月均滿倉配置，即 ω_i 之和為 1。按夏普率配置和簡(jiǎn)單多樣化這兩種策略的表現(xiàn)如下圖所示。

從上述實(shí)證結(jié)果來看，按夏普率配置完勝簡(jiǎn)單多樣化。按夏普率平方分配風(fēng)險(xiǎn)似乎 “理論完美、實(shí)證給力”，但現(xiàn)實(shí)中真的是這樣嗎？別著急，繼續(xù)往下看。上述實(shí)證結(jié)果的前提是能夠?qū)ο钠章蔬M(jìn)行正確的計(jì)算。本文的觀點(diǎn)是通過有限的樣本數(shù)據(jù)來對(duì)總體未知的夏普率進(jìn)行推斷、以及檢驗(yàn)不同策略或資產(chǎn)的夏普率是否有顯著差異（從而賦予不同的配置權(quán)重）是非常困難的一件事（是可能的，但很困難）。

來看一個(gè)假想的例子。

2 兩年 vs 二十年

使用正態(tài)分布獨(dú)立構(gòu)建兩個(gè)策略的周頻收益率序列。假設(shè)兩個(gè)策略的年化真實(shí)夏普率分別為 1 和 2；周頻的波動(dòng)率為 1%，通過夏普率就可以計(jì)算這兩個(gè)周頻收益率序列各自的均值，從而獲得正態(tài)分布的全部參數(shù)。假設(shè)對(duì)每個(gè)策略產(chǎn)生 1000 個(gè)樣本點(diǎn)（對(duì)應(yīng)約為二十年的時(shí)間）。下圖首先展示了這兩個(gè)策略在前 100 個(gè)樣本點(diǎn)（對(duì)應(yīng)兩年）的累積收益率。

你可能猜到了，我一定會(huì)故意找一個(gè)年化夏普率為 1 的策略在這前 100 周（對(duì)應(yīng)兩年）跑贏那個(gè)夏普率為 2 的策略的例子。上圖中的藍(lán)色為夏普率為 1 的策略的累積收益率；黃色為夏普率為 2 的策略的累積收益率。如果我們把時(shí)間拉長(zhǎng)到全部 1000 個(gè)樣本點(diǎn)（二十年），則毫無意外的，黃色策略大幅跑贏了藍(lán)色（注意下圖中縱坐標(biāo)是對(duì)數(shù)坐標(biāo)）。這個(gè)例子說明，即便是年化夏普率 1 和 2 這種巨大的差異，如果只有很短的樣本數(shù)據(jù)也完全能帶給我們錯(cuò)誤的結(jié)論（況且兩年已經(jīng)不短）。

你可能接著會(huì)說我一定是在“cherry picking”，試了半天找出了上面這么一個(gè)有違常理的例子。下面來看看多次仿真的結(jié)果。假設(shè)進(jìn)行 5000 次仿真，每次仿真生成年化夏普率分別為 1 和 2 的兩個(gè)策略，每個(gè)策略長(zhǎng)度為 1000 個(gè)樣本點(diǎn)。下圖繪制了在前 n 個(gè)樣本點(diǎn)下（橫坐標(biāo)為 n 的取值），夏普率為 1 的策略跑贏夏普率為 2 的策略的概率（縱坐標(biāo)）。

上圖表明，如果我們的樣本數(shù)據(jù)很短（比如 n = 10 或 20 周，對(duì)應(yīng)幾個(gè)月的情況），使用樣本數(shù)據(jù)夏普率來比較兩個(gè)策略的錯(cuò)誤率（即認(rèn)為真實(shí)夏普率為 1 的策略比真實(shí)夏普率為 2 的策略更好）高達(dá) 30% 以上；即使是使用 100 個(gè)樣本點(diǎn)（兩年），判斷的錯(cuò)誤率也有 16.34%。（所以“cherry picking”并沒有花費(fèi)我很多時(shí)間。）隨著樣本長(zhǎng)度增加，錯(cuò)誤率持續(xù)降低。這個(gè)例子說明，哪怕僅僅是希望定性的判斷兩個(gè)策略的夏普率孰高孰低，我們都需要足夠長(zhǎng)的樣本數(shù)據(jù)。而如果想定量的比較不同策略的夏普率差異，則需要適合的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

3 檢驗(yàn)夏普率

數(shù)學(xué)上有很多手段檢驗(yàn)兩個(gè)收益率時(shí)間序列的夏普率是否顯著不同。在這方面，最早的研究大概是 Jobson and Korkie (1981)。不過該研究假設(shè)兩個(gè)策略的收益率滿足二元正態(tài)分布，而實(shí)際的收益率時(shí)間序列中難以滿足該假設(shè)。針對(duì)上述問題，Ledoit and Wolf (2008) 提出了改進(jìn)的檢驗(yàn)方法。本文的重點(diǎn)雖然不是介紹這些檢驗(yàn)方法，但由于下文的舉例研究中將使用 Ledoit and Wolf (2008) 的方法，故在本節(jié)對(duì)其簡(jiǎn)要說明。感興趣的朋友請(qǐng)進(jìn)一步參考原文；跳過本小節(jié)也不影響后面內(nèi)容的閱讀。根據(jù)夏普率的定義，它是策略超額收益均值和其標(biāo)準(zhǔn)差的比值。而對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量 X，其方差滿足如下關(guān)系：

因此，對(duì)于（超額）收益率隨機(jī)變量 r，對(duì)應(yīng)的夏普率可以表達(dá)為：

換句話說，夏普率可以表達(dá)為收益率 r 的一階矩（即均值 E[r]）和非中心化的二階矩（即 E[r^2]）的函數(shù)。Ledoit and Wolf (2008) 正是采用了上述表達(dá)式，極大的簡(jiǎn)化了推導(dǎo)。對(duì)于兩個(gè)待比較夏普率的收益率序列 {r_i} 和 {r_n}，它們的真實(shí)（但未知）夏普率之差（用 Δ 表示）是 E[r_i]、E[r_n]、E[r_i^2] 以及 E[r_n^2] 的函數(shù)（為簡(jiǎn)化表達(dá)式，令 μ = E[r]、γ = E[r^2]）：

在實(shí)際中，我們只有樣本數(shù)據(jù)，使用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的夏普率之差為：

為了對(duì)夏普率之差進(jìn)行檢驗(yàn)，我們必須知道樣本夏普率之差的 standard error。為此，Ledoit and Wolf (2008) 使用了統(tǒng)計(jì)學(xué)中的 delta method。具體的，令 v = (μ_i, μ_n, γ_i, γ_n)’ —— 即向量 v 代表了計(jì)算兩個(gè)收益率序列夏普率之差的總體（population）未知參數(shù)；令向量 \hat v 對(duì)應(yīng) v 的樣本（sample）參數(shù)。Ledoit and Wolf (2008) 假設(shè)：

上式箭頭上的 d 表示依分布收斂；Ψ 表示 (μ_i, μ_n, γ_i, γ_n) 的協(xié)方差矩陣（未知、需估計(jì)）；T 為樣本長(zhǎng)度。由于夏普率之差 Δ 是 v 的函數(shù)，直接使用 delta method 可得：

上式就是使用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的夏普率之差需要滿足的分布。一旦我們能夠得到協(xié)方差矩陣 Ψ 的相合估計(jì) \hat Ψ，就可以利用下式求出 \hat Δ 的 standard error：

有了 standard error，再假設(shè)真實(shí)夏普率之差為 Δ = θ，便可以計(jì)算 t-statistic：

有了 t-statistic 就可以進(jìn)一步計(jì)算 p-value 并以此接受或拒絕原假設(shè) Δ = θ。問題的核心由此歸結(jié)為估計(jì)協(xié)方差矩陣 Ψ。為此，Ledoit and Wolf (2008) 給出了兩種方法：

由于篇幅所限，本節(jié)不再展開介紹協(xié)方差矩陣 Ψ 的估計(jì)。感興趣的朋友請(qǐng)參考 Ledoit and Wolf (2008)。在下一節(jié)的實(shí)驗(yàn)中，由于使用的假想收益率序列出自正態(tài)分布，因此使用上述第一種方法對(duì)夏普率進(jìn)行檢驗(yàn)。

4 回答正確的問題

上述夏普率差別的檢驗(yàn)回答的是 prob(\hat Δ | Δ = θ) 的問題 —— 即在原假設(shè) H0：Δ = θ 下，我們觀測(cè)到樣本夏普率差異 \hat Δ 的概率。在實(shí)際進(jìn)行資產(chǎn)配置時(shí)，即便我們能顯著的拒絕原假設(shè)，它也不是我們最關(guān)心的問題。在利用不同夏普率進(jìn)行資產(chǎn)配置時(shí)，正確的問題是計(jì)算 prob(Δ = θ | \hat Δ) —— 即當(dāng)樣本數(shù)據(jù)顯示出 \hat Δ 的夏普率差異時(shí)，這兩個(gè)策略真實(shí)夏普率差異是 θ 的概率。由貝葉斯法則可知，prob(Δ = θ | \hat Δ) 與 Δ = θ 的先驗(yàn)概率以及統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果 prob(\hat Δ | Δ = θ) 的乘積成正比：

上式說明，為了計(jì)算 prob(Δ = θ | \hat Δ) 需要知道先驗(yàn) prob(Δ = θ) 是多少。在一定程度上，它的取值和主觀經(jīng)驗(yàn)判斷密切相關(guān) —— 比如認(rèn)為兩個(gè)策略夏普率沒有差異的概率最大；或者認(rèn)為某個(gè)策略就是風(fēng)險(xiǎn)收益更高，因此它們年化夏普率差異為 1 的概率最大等。

下面，假設(shè)真實(shí)年化夏普率差異 θ 的取值為 0、0.5 和 1，并假設(shè) prob(Δ = 0) = 0.6、prob(Δ = 0.5) = 0.2、prob(Δ = 1) = 0.2。我們?cè)賮砜纯吹诙?jié)中的那兩個(gè)策略。當(dāng)只有前 100 周的樣本數(shù)據(jù)，通過使用本文第三節(jié)介紹的檢驗(yàn)方法得到如下結(jié)果：

從 prob(Δ = θ) 和 prob(\hat Δ | Δ = θ) 的乘積來看，最大的是 θ = 0.0 的情況，這說明僅僅通過 100 期的表現(xiàn)，我們并不能認(rèn)為這兩個(gè)策略中誰更好，盡管實(shí)際情況是策略 2 的真實(shí)夏普率是策略 1 的兩倍。當(dāng)使用全部 1000 個(gè)樣本數(shù)據(jù)時(shí)，可得到的結(jié)果如下。在足夠長(zhǎng)的樣本數(shù)據(jù)下（二十年），結(jié)果顯示兩個(gè)策略最有可能的真實(shí)夏普率差別是 θ = 1.0。

這個(gè)例子雖然從收益率序列到先驗(yàn)都是假想的，但通過它想要引出的觀點(diǎn)是：

5 結(jié)語

資產(chǎn)配置從來都不是一個(gè)容易的課題。當(dāng)我們知道不同策略（或者資產(chǎn)）真實(shí)夏普率的時(shí)候，沒有理由使用簡(jiǎn)單多樣化配置；充分利用不同資產(chǎn)的夏普率信息才可能最大化投資組合的夏普率，達(dá)到最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)收益特性。可惜，真實(shí)夏普率是未知的。

使用收益率序列計(jì)算夏普率并比較不同策略時(shí)應(yīng)該使用科學(xué)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)并回答正確的問題。這需要合理的先驗(yàn)和足夠長(zhǎng)的數(shù)據(jù)。而基于有限的數(shù)據(jù)計(jì)算出（不確定性極大的）夏普率來配置相當(dāng)于擇時(shí)。計(jì)算夏普率在一定程度上近似于計(jì)算收益率；短時(shí)間內(nèi)收益率的外推性是非常差的，因此使用短時(shí)間內(nèi)夏普率進(jìn)行資產(chǎn)配置（擇時(shí)）并不十分合理的。

為什么第一節(jié)中的例子里按照滾動(dòng)窗口計(jì)算出的夏普率來配置顯著戰(zhàn)勝了簡(jiǎn)單多樣化呢？其原因是 A 股中涇渭分明的牛、熊市 —— 任何對(duì)著 A 股的擇時(shí)策略只要能躲過幾波熊市都會(huì)顯著提升樣本內(nèi)效果。在該例子中，一旦我們把 A 股從資產(chǎn)池中排除，對(duì)于余下幾種資產(chǎn)，使用滾動(dòng)夏普率并沒有戰(zhàn)勝簡(jiǎn)單多樣化（下圖）。

當(dāng)使用了正確的方法和足夠的數(shù)據(jù)之后，對(duì)于夏普率的判斷（從而改變策略配置權(quán)重）是一種改變我們先驗(yàn)的低頻行為。如果正確，它將會(huì)提高投資組合在未來的風(fēng)險(xiǎn)收益特征；如果錯(cuò)誤，它則大概率是在樣本內(nèi)對(duì)著數(shù)據(jù)過擬合而已。基于有限的收益率序列、滾動(dòng)計(jì)算夏普率（或其他風(fēng)險(xiǎn)、收益指標(biāo)）并配置資產(chǎn)，到底是在配置風(fēng)險(xiǎn)收益還是在配置噪聲？

參考文獻(xiàn)

Andrews, D. W. K. (1991). Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimation. Econometrica 59(3), 817 – 858.

Jobson, J. D. and B. M. Korkie (1981). Performance hypothesis testing with the Sharpe and Treynor measures. Journal of Finance 36(4), 889 – 908.

Ledoit, O. and M. Wolf (2008). Robust performance hypothesis testing with the Sharpe ratio. Journal of Empirical Finance 15(5), 850 – 859.

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