作者：石川

摘要：除了 Newey-West 調整，Barra 模型中同時還使用了 Eigenfactor 風險調整和貝葉斯收縮來進一步提高協(xié)方差矩陣的估計。本文介紹這兩種技巧。

1 引言

本文介紹一下 Barra 模型中關于風險的兩處調整，它們都是 Barra 模型中的核心組成部分。在《正確理解 Barra 的純因子模型》中曾經(jīng)提到，Barra 的純因子模型沒有什么可投資性，但是它仍然有兩個重要的作用：

通過多因子模型，股票的超額收益被分解為被因子解釋的部分以及各自的特異性收益率：

在上式中?r?為 N × 1 維個股收益率向量（省略了時間下標，假設有 N 支股票）、X?為當期因子暴露矩陣（N × K 矩陣，K 為因子個數(shù)），f?為 K × 1 維因子收益率向量，u?為 N × 1 維個股特異性收益率向量。通過因子模型可知，個股收益率的協(xié)方差滿足如下關系：

其中?V（N × N）是股票收益率的協(xié)方差矩陣，V_f（K × K）是因子收益率的協(xié)方差矩陣，而?Δ?為 N × N 對角陣，其對角線上的元素對應個股的特異性收益率的方差。 為了得到 V 的準確估計，對于 V_f 和 Δ 的求解至關重要。在上一期《協(xié)方差矩陣的 Newey-West 調整》中，我們指出為了得到更準確的估計，Barra 對 V_f 和 Δ 都進行了 Newey-West 調整。然而，Barra 對風險調整的腳步并沒有止步于此。在 Newey-West 調整之后，它們對因子收益率的協(xié)方差矩陣 V_f 進行了 Eigenfactor risk adjustment，并對個股的特異性收益率方差矩陣 Δ 進行了Bayesian shrinkage（貝葉斯收縮）。本文就來對它們分別做簡要介紹。在此之前，先讓我們了解另外一個概念：Bias statistic（偏差統(tǒng)計量），這是因為本文關注的兩種調整都是以降低 Bias statistic 為目標的。

2 偏差統(tǒng)計量

Bias statistic 是評估風險模型準確性的一個常用指標（Menchero et al. 2011），它用來衡量風險預測值和風險實際值（用已實現(xiàn)波動率來評估）之間的誤差。如果這二者之間有顯著誤差，則我們說這個風險預測是有偏的，故這個統(tǒng)計量稱為偏差統(tǒng)計量。在數(shù)學上，偏差統(tǒng)計量的定義如下。令 R_{nt} 為某投資組合 n 在 t 期的收益率，σ_{nt} 是 t 期期初（beginning-of-period）的預測風險。用 σ_{nt} 對 R_{n_t} 進行標準化得到：

上面這個標準化在數(shù)學上的含義是將 R_{nt} 的波動率 —— 實際的已實現(xiàn)波動率 —— 使用期初預測的波動率 σ_{nt} 進行標準化。如果期初風險預測是準確的，那么 b_{nt} 的標準差應該為 1。利用總共 T 期的 b_{nt} 計算樣本標準差就得到 Barra 定義的偏差統(tǒng)計量 B_n：

在收益率符合正態(tài)分布的假設下，B_n 的 95% 的置信區(qū)間為：

可見，當樣本個數(shù)足夠大（即 T 足夠大）的時候，偏差統(tǒng)計量 B_n 應該離 1 不遠。如果它離 1 不遠則說明我們在期初的風險預測值比較準確，反之則意味著期初的風險預測值是有偏的，這時就需要修正。在上面的使用中，一個比較強的假設是收益率滿足正態(tài)分布。當背離這條假設時，B_n 很有可能遠離 1 而這卻并不意味著風險的預測是有偏的。在這方面，Barra 的 USE4 research note （Menchero et al. 2011）里面有更多的討論。在本文的最后，我們簡單評論一下這個正態(tài)分布假設。好了，現(xiàn)在我們清楚了偏差統(tǒng)計量，馬上來看對協(xié)方差矩陣的 eigenfactor 風險調整。

3 協(xié)方差矩陣的 Eigenfactor 風險調整

Barra 的 USE4 模型中，在對因子收益率協(xié)方差矩陣進行 Newey-West 調整之后，又進行了 Eigenfactor 調整。關于這個調整介紹的最詳細的文獻是 Menchero, Wang, and Orr (2011)，這篇文章比 USE4 模型文檔中的介紹要更完整，我們就從它講起。本節(jié)的介紹偏重于解釋 Eigenfactor 調整的業(yè)務意義，會涉及少量必要的數(shù)學推導，但是不會詳述所有的技術細節(jié)。這里請暫時忘記因子，因為上面這篇文章的研究的對象是個股超額收益的的協(xié)方差矩陣。超額收益是相對市場而言的，定義如下：

上式中，?r_{nt}?是股票 n 在交易日 t 的收益，R_t^M??是該日的市場收益，f_{nt}??是股票在 t 的超額收益。使用不同股票的超額收益序列，就能計算出樣本協(xié)方差矩陣：

這里?V_0?是協(xié)方差矩陣，而? V_0(mn)?代表這個矩陣中對應的股票 m 和 n 之間的協(xié)方差。V_0 是樣本協(xié)方差矩陣，它只是未知總體的估計，它是無偏估計嗎？是否會在某些特定使用方法下有很大的偏差？這就是 Barra 關心的。為此采用第二節(jié)提到的 Bias statistic 來評估它是否是無偏的。他們首先檢查了個股和隨機選擇個股權重而構建的投資組合，發(fā)現(xiàn)在這兩種情況下，Bias statistic 都離 1 不遠 —— very nice。

然而在現(xiàn)實中，我們并不是隨機的投資個股，所以上面的結論雖然不錯但可惜是不夠的。現(xiàn)實中我們通常以某種目標來優(yōu)化投資組合、確定股票在組合中的權重；比如使用馬科維茨 mean-variance optimization 框架得到的最優(yōu)組合。對于這些最優(yōu)化得到的投資組合，它們的 Bias statistic 怎樣呢？為了回答這個問題，Eigenfactor 閃亮登場。假設樣本協(xié)方差矩陣?V_0?是滿秩的。使用它的所有特征向量構建一個矩陣?U_0 —— 這個矩陣的每一列就是?V_0?的一個特征向量。利用線性代數(shù)的性質，我們可以用?U_0?把?V_0?“旋轉”一下，變成一個對角陣：

這個 D_0 是個對角陣，它對角線上的元素為和那些特征向量對應的特征值。這其實是對 V_0 進行特征分解。這個變換的業(yè)務含義是什么呢？假設一共有 N 個股票，則每一個特征向量都是一個 N × 1 的向量，它里面第 n 個數(shù)就代表這第 n 支股票的權重。以該特征向量中的數(shù)值作為權重就得到了一個 eigenfactor portfolio（eigenfactor 一詞是 Barra 發(fā)明的，因為來自特征向量 eigenvector）。由于一共有 N 個特征向量，所以有 N 個 eigenfactor portfolios。更重要的是，這些投資組合之間相互獨立，協(xié)方差為 0，這在數(shù)學上體現(xiàn)在?D_0?是個對角陣。前面剛說過，它對角線上的元素是 V_0 的特征值，而它們也是這些 eigenfactor portfolios 的方差。

那么這些 eigenfactor portfolios 的 Bias statistics 如何呢？是否接近 1 呢？很不幸，答案是否定的。下圖是按照 eigenfactor portfolios 的樣本方差從小到大順序將這些組合排列（橫坐標），然后查看它們的 Bias statistics（縱坐標）?？梢?，這二者基本成反比 ——?當 eigenfactor 組合的樣本方差小時，它的 Bias statistics 非常大，說明估計值非常不準。

即便如此我們仍然會問 —— 這 eigenfactor portfolios 在實際中有含義嗎？如果我們不按照特征向量中的權重來構建投資組合，那么即便它們的 Bias statistics 偏離 1 對我們也沒有影響。不幸的是，它們有含義！這就是 Barra 考慮 eigenfactor 調整的原因。以下是 Barra 的原文：

Eigenfactors are not economically intuitive. However,?they do play an important role in portfolio optimization.?For instance, the first eigenfactor solves for the minimum variance portfolio subject to the constraint that the sum of squared weights adds up to 1. Similarly, the last eigenfactor solves the corresponding maximum variance problem.

它的意思是?eigenfactor portfolios 在投資組合的最優(yōu)化構建中有很大的意義。比如，方差最小的 eigenfactor 組合就等價于我們以最小化組合方差為優(yōu)化目標構建的組合（這句話邏輯真完美……）；方差最大的 eigenfactor 組合就等價于我們以最大化方差為優(yōu)化目標（不確定是否有人這么干……）而構建的投資組合。在 Barra 看來，eigenfactor portfolios 和我們最終使用這些個股、以某種最優(yōu)化目標來構建的最優(yōu)投資組合有著千絲萬縷的聯(lián)系。因此，如果這些 eigenfactor portfolios 的 Bias statistics 很差，那么我們可以預期，以某種目標最優(yōu)化得到的投資組合的 Bias statistics 也好不到哪去（下圖是 Barra 給的模擬產(chǎn)生的最優(yōu)化組合的 Bias statistics 例子，都高達 1.4 以上）。

這就是為什么要對協(xié)方差矩陣進行 eigenfactor 調整。讀到這里，細心的小伙伴可能會說“你上面這都是個股協(xié)方差矩陣啊，但是 USE4 里面是因子協(xié)方差矩陣”。對因子協(xié)方差矩陣的 eigenfactor 調整的數(shù)學方法和上面完全一致。在 Menchero, Wang, and Orr (2011) 這篇文章的數(shù)學推導中，Barra 就說了計算樣本協(xié)方差矩陣的“assets”可以是 factors，大類資產(chǎn)以及個股：

因此從數(shù)學上來說，不管上面是個股協(xié)方差矩陣還是因子協(xié)方差矩陣，都沒問題。從業(yè)務上來說呢，同樣對因子協(xié)方差矩陣做“旋轉”。假設有 K 個因子（別忘了，這每一個因子代表著一個由個股構建出來的純因子投資組合），因此得到 K 個特征向量。以特征向量為權重得到的 eigenfactor portfolios 恰好就是 K 個純因子投資組合的某種配置組合（組合的組合）。這句話本身就足以說明 eigenfactor 風險調整的重要性了。我們分析因子的目的是為了針對這些純因子組合的風險收益特性進行進一步優(yōu)化，從而把這些因子組合放在一起，得到一個多因子組合（即讓我們最終的投資組合暴露于多個優(yōu)異的 α 因子中）。然而，上面的分析指出，以純因子組合為輸入經(jīng)過優(yōu)化后得到的投資組合，它的風險估計是有偏的（Bias statistic 顯著不為 1，見下圖）。

因此，對因子的協(xié)方差矩陣做 eigenfactor risk 調整也是十分必要的。這就是 Barra 采取這個調整的原因。下圖比較了調整前（左圖）后（右圖）的 Bias statistics，效果顯著：

上面從業(yè)務邏輯的角度解釋了為什么 Barra 要對因子協(xié)方差矩陣進行 eigenfactor risk 調整。在調整的具體的數(shù)學細節(jié)上面，其思想是 Bootstrap，請閱讀 Menchero, Wang, and Orr (2011) 或者是 USE4 模型的文檔，這里就不贅述了。不熟悉 Bootstrap 思想的小伙伴請參考《用 Bootstrap 進行參數(shù)估計大有可為》。

4 特質性收益率的風險調整

本節(jié)來解釋 Barra 對個股特異性收益率的風險調整 —— 貝葉斯收縮。貝葉斯收縮是一個常見的將先驗和樣本估計結合起來的手段；它是先驗和樣本估計量的線性組合（見《收益率預測的貝葉斯收縮》）。對（協(xié)）方差矩陣進行貝葉斯收縮并不是 Barra 的獨創(chuàng)，事實上 Ledoit and Wolf (2003) 就提出了這個思想，并取得了不錯的效果。他們的方法也比下面要介紹的 Barra 的收縮方法（主要是在收縮強度系數(shù)的選取上）復雜的多，這個咱們以后再說。

來看 Barra 的問題。首先計算出個股的特異性波動率，這是樣本估計量。但是，Barra 指出使用樣本內數(shù)據(jù)計算出的特異性波動率在樣本外的持續(xù)性很差。下圖中，所有股票按照特異性波動率大小分成 10 檔（圖中第 1 檔代表波動率最??；第 10 檔代表波動率最大），計算每檔的平均 Bias statistic?？梢钥吹?，對于波動率小的檔，Bias statistic 顯著大于 1，說明它低估了樣本外這些股票的特異性波動率；而對于波動率大的檔，Bias statistic 顯著小于 1，說明它高估了這些股票在樣本外的特異性波動率。

既然使用樣本數(shù)據(jù)估計的不準，那就需要使用先驗來矯正一下。先驗就是我們認為正確的特異性波動率，所以我們把樣本數(shù)據(jù)計算出來的特異性波動率向著先驗來靠攏，這就是“收縮”一詞的意思，這就是為什么這個技術較貝葉斯收縮。如何計算先驗呢？對于任意給定的個股，Barra 采用一大堆個股特異性收益的波動率的均值作為先驗。這個“一大堆”是什么呢？Barra 把所有個股按照市值分成十檔，然后找到我們目標個股所在的市值那一檔，而這一檔中的所有股票就是這“一大堆”。

計算這一大堆中所有股票的特異性波動率，取它們的平均。怎么取呢？不是簡單的等權，而是按照市值加權的。這個使用和目標股票處在同一市值這一檔所有股票（一大堆）按照市值權重計算出來的特異性波動率就是先驗。以 s_n 表示市值檔位 \hat σ_n 表示 s_n 中股票 n 的特異性收益率，w_n 表示 s_n 中股票 n 的按照其市值計算出來的權重。則這個先驗的表達式為：

可見，先驗就是把屬于 S_n 內的所有股票的特異性波動率按照它們的市值為權重平均起來。現(xiàn)在先驗、樣本估計量都有了，最后一步就是把這二者線性組合在一起：

上式中等式左側就是收縮后股票 n 的最終特異性波動率，等式右側的第一項中的?ν_n?是在收縮時賦予先驗的權重（稱為收縮強度系數(shù)）。如何確定權重呢？它和樣本估計量與先驗的偏離程度有關。具體的，ν_n?的表達式為：

上式中，q 是一個經(jīng)驗壓縮系數(shù)，?N(s_n)?是市值檔位 s_n?中股票的個數(shù)。這個表達式中的分子以及分母中的第二項的?|\hat σ_n - \bar σ(s_n)|?表示了我們股票 n 的樣本特異性波動率和其先驗之間的偏離程度；而上式分母中的第一項是市值檔位?s_n?中所有股票的特異性波動率和其先驗偏離程度的標準差，它是這一大堆股票的平均偏離程度的一個度量。最終的壓縮權重?ν_n?就由這兩個偏離程度（以及經(jīng)驗系數(shù) q）決定：

在上面?ν_n?的表達式中，唯一剩下的就是要確定經(jīng)驗系數(shù) q 了。Barra 沒有具體說，但是不難想它一定和 Bias Statistic 有關。貝葉斯收縮的目的就是為了降低個股特異性波動率的 Bias Statistic，所以可以通過綜合考慮所有個股特異性波動率收縮前后 Bias statistic 的改進來找到合適的 q 值。根據(jù) USE4 文檔中報告的結果，貝葉斯收縮效果顯著改善了各市值檔位內個股的特異性波動率（下圖）。

以上就是對特異性波動率做的貝葉斯收縮。

5 結語

本文介紹了 Barra 對波動率的兩種調整方法，它們都是以改善 Bias statistic 為目標。而第二節(jié)曾指出，如果收益率不滿足正態(tài)分布，那么 Bias statistics 可能也是不準的。既然存在收益率不滿足正態(tài)分布這個風險，那么 Barra 仍將上述偏差統(tǒng)計量用于因子收益率協(xié)方差矩陣和個股特異性收益率方差的調整中，是否合理呢？先來說說因子收益率。對于每個因子，它的收益率是一攬子股票的加權收益率（權重是從模型中根據(jù)截面回歸來的），因此它是一個投資組合（純因子組合）的收益率。比起個股，投資組合的收益率應該更加滿足正態(tài)分布的假設。再來看看個股的特異性收益率。在市場上流行的因子模型中，對因子解釋不了的殘差（即特異性收益率）通常做的假設大多是正態(tài)分布。所以，從這個意義上說，似乎能理解 Barra 堅持使用上述偏差統(tǒng)計量的原因。

在投資實務中，任何模型都需要假設、模型本身并無好壞。所以我們也不用把 Barra 的處理方法當作唯一的、正確的答案。這僅僅是來自 Barra 的選擇 —— 我相信這背后自有它的道理和考量。有的小伙伴給我們留言，告訴我們國內一些券商報告中有很多其他不錯的評價協(xié)方差矩陣準確性的方法。那些無疑也是值得我們學習和嘗試的。

參考文獻

Ledoit, O. and M. Wolf (2003). Improved estimation of the covariance matrix of stock returns with an application to portfolio selection. Journal of Empirical Finance 10, 603 – 621.

Menchero, J., D. J. Orr, and J. Wang (2011). The Barra US Equity Model (USE4). MSCI Barra Research Notes.

Menchero, J., J. Wang, and D. J. Orr (2011).?Eigen-adjusted Covariance Matrices.?MSCI Research Insight.

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