作者：石川

本文以 CNE5 模型為例，解釋 Barra 的純因子模型。純因子模型在風(fēng)險歸因、因子評價等方面具備優(yōu)勢。

1 引言

在（風(fēng)險）多因子模型中，因子暴露（factor exposure）和因子收益率（factor return）是兩個核心的概念。不清楚它們的定義將影響對多因子模型的理解。所謂因子，就是一個可以描述股票某方面特征的因素，比如行業(yè)因子描述了股票是否屬于這個行業(yè)，P/E 因子描述股票 Price-to-Earnings ratio。因子暴露就是股票在因子所代表的特征上的取值，比如一個股票的 P/E 為 15.9，那么它對 P/E 因子的因子暴露就是 15.9（實際使用中，需要將這個數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)化）。對于一個給定的因子，按照某種權(quán)重組合所有股票便形成了一個基于該因子構(gòu)建的投資組合，該投資組合的收益率就被定義為這個因子的收益率。

對于給定的因子，如何構(gòu)建因子投資組合呢？常見的做法是，將所有個股在該因子上的因子暴露在截面上標(biāo)準(zhǔn)化；之后所有股票會按照因子的業(yè)務(wù)邏輯、根據(jù)因子暴露的數(shù)值從好到壞排列；最后，假設(shè)做多前 10% 或者 20% 的股票，做空后 10% 或者 20% 的股票，以此來構(gòu)建一個零額投資的投資組合，它就是該因子的投資組合。這個做法在業(yè)界非常流行，但它也存在兩個缺陷：

第一個問題造成在時間序列上評價一個因子的作用時，每期的投資組合對該因子的暴露程度都不一樣。舉個例子，假如相鄰兩個月中，某因子的投資組合對該因子的暴露為 1 和 2，而相應(yīng)的因子收益率為 1% 和 2%。如果我們忽視了因子暴露程度不同的話，就會得到本期因子收益率較前一期的數(shù)值有所提高的錯誤結(jié)論。

第二個問題更為嚴(yán)重。風(fēng)險因子大多來源于股票的基本面數(shù)據(jù)，很多因子之間存在一定的線性相關(guān)性。為了正確的評價一個風(fēng)險因子是否有效以及在什么程度上有效，必須保證圍繞該因子來構(gòu)建的投資組合可以最大程度的剝離因子之間的相關(guān)性。換句話說，針對某因子構(gòu)建的投資組合應(yīng)該避免在其他因子上有任何暴露。

為此，Barra（如今已被 MSCI 收購了）提出了純因子模型（pure factor model），它能夠保證在截面上構(gòu)建因子投資組合時，每個因子的投資組合對目標(biāo)因子有 1 個單位的暴露，而對其他因子的暴露為 0*。?

純因子投資組合是為了正確量化因子的收益和風(fēng)險而從純數(shù)學(xué)的角度構(gòu)建的。建立時沒有考慮任何可投資性的要求，因此純因子投資組合的可投資性非常低。它滿足對目標(biāo)因子有?1?個單位的暴露，對其他因子沒有暴露，因此可以正確的衡量因子的有效性。

看到這里也許有的小伙伴會說“沒有可投資性那有什么用？”。正確的解答是，Barra 的風(fēng)險因子模型的核心是做風(fēng)險分析。具體來說有兩個目的：

為了上面兩個目標(biāo)，構(gòu)建因子的投資組合時必須能夠正確計算因子收益率，這就是純因子組合的價值所在。雖然純因子組合可投資性低，但它在風(fēng)險管理和業(yè)績歸因中有著非常重要的作用。今天我們就來簡單聊聊 Barra 的純因子模型。行文的重點將放在從定性層面理解這個模型的優(yōu)點。

2 CNE5 模型

CNE5 是 Barra 的最新一代面向中國股票市場的多因子模型。該模型考慮了一個國家因子、多個行業(yè)因子以及多個風(fēng)格因子。假設(shè)市場中共有 N 支股票，P 個行業(yè)，以及 Q 個風(fēng)格因子。在任意給定時間點，該模型使用因子暴露和個股收益率構(gòu)建截面回歸（cross-sectional regression）如下：

其中 r_n 是第 n 支股票的收益率，r_f 是無風(fēng)險收益率。X_n^{I_p} 是股票 n 在行業(yè) I_p 的暴露，如果假設(shè)一個公司只能屬于一個行業(yè)，那么 X_n^{I_p} 的取值為 0（代表該股票不屬于這個行業(yè)）或者 1（代表該股票屬于這個行業(yè)）。X_n^{S_q} 是股票 n 在風(fēng)格因子 S_q 的暴露，它的取值經(jīng)過了某種標(biāo)準(zhǔn)化（標(biāo)準(zhǔn)化的方法會在下文說明）。u_n 為股票 n 的超額收益中無法被因子解釋的部分，因此也被稱為該股票的特質(zhì)性性收益。f_C 為國家因子的因子收益率（所有股票在國家因子上的暴露都是1）；f_{I_p} 為行業(yè) I_p 因子的因子收益率；f_{S_q} 為風(fēng)格因子 S_q 的因子收益率。

對于給定某一期截面數(shù)據(jù)（記為 T 期），在截面回歸時，Barra 使用?T?期股票（超額）收益率對?T - 1?期因子暴露回歸。在 USE4 模型中，因子收益率是日頻的，因此截面回歸也應(yīng)該是日頻的。以下說明來自 Barra Risk Model Handbook。

... the previous steps have defined the exposures of each asset to the factors?at the beginning of every period?in the estimation window. The factor excess returns?over the period?are then obtained via a cross-sectional regression of asset excess returns on their associated factor exposures ...? ??

上式就是 CNE5 多因子模型。在這個模型中，國家因子的因子暴露和 P 個行業(yè)的因子暴露之間存在共線性。具體來說，國家因子的因子暴露向量可以表達(dá)為 P 個行業(yè)因子因子暴露向量的線性組合。這會造成上式的解不唯一。為此，對行業(yè)因子的因子收益率作如下限制：

其中 s_{I_p} 是所有屬于行業(yè) I_p 的股票的按流通市值計算出的權(quán)重之和。通過截面回歸，對 CNE5 模型求解的對象是每個因子的投資組合中所有股票的配比權(quán)重。對于因子 k 和股票 n 來說，用符號 ω_{kn} 來表示。一旦得到所有的 ω_{kn}，便可通過下式求出當(dāng)期因子的收益率 f_k:

對 CNE5 模型求解其實是一個多因子回歸的求解。把多個因子放在一起回歸同時求解就是為了考慮不同因子之間的相關(guān)性。這可以保證根據(jù)因子權(quán)重 ω_{kn} 來構(gòu)建的因子投資組合對于這個模型所涉及的所有因子都是純因子的投資組合。對于任何一個風(fēng)格因子 S_q，上述截面回歸保證了它的投資組合僅僅在這個因子上有 1 個單位的暴露，而在其他所有因子上均沒有任何暴露，即

對于國家因子和行業(yè)因子的投資組合，“純因子”組合的解釋略有不同，我們會在第 4 節(jié)中闡述。前面說到，在使用截面回歸求解時，必須對風(fēng)格因子的因子暴露進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（國家和行業(yè)因子的因子暴露不需要標(biāo)準(zhǔn)化）。令 s_n 表示股票 n 的流通市值權(quán)重。對風(fēng)格因子的因子暴露進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的初衷是這樣的：按照股票的流通市值權(quán)重構(gòu)建的投資組合等同于整個市場，而市場對所有的風(fēng)格因子都應(yīng)該是中性的。因此，按流通市值權(quán)重構(gòu)建的股票投資組合在所有風(fēng)格因子上的暴露必須是 0。這意味著經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后的風(fēng)格因子暴露 X_n^{S_q} 必須滿足：

此外，我們還必須對風(fēng)格因子的因子暴露進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)化，即要求對每一個風(fēng)格因子 S_q，X_n^{S_q} 的標(biāo)準(zhǔn)差為 1。這樣便完成了對風(fēng)格因子的因子暴露的標(biāo)準(zhǔn)化。

3 國家因子

相比于早期的中國股票因子模型，CNE5 中的關(guān)鍵變化之一是加入了國家因子。（類似的，在針對美國市場的最新模型 USE4 中，Barra 也加入了這一因子。）那么，國家因子投資組合的本質(zhì)是什么呢？國家因子投資組合的實質(zhì)是按流通市值為權(quán)重的市場組合。有點繞？沒關(guān)系，一步一步來。對于國家因子，所有個股的暴露都是 1，這個組合的收益率為 f_C。而在市場組合中，個股是按流通市值權(quán)重配置的，我們用 r_M 表示市場組合的收益。那么，只有當(dāng) f_C 近似的等于 r_M 時，上面的結(jié)論才成立。下面就來看看 f_C 和 r_M 是否近似相等。

由前文所述，s_n 是股票 n 的流通市值權(quán)重。將 {s_n}, n = 1, …, N 這一組權(quán)重帶入到 CNE5 的因子模型中可以得到如下關(guān)系。其中左側(cè)就是市場收益 r_M，右側(cè)是使用國家因子、行業(yè)因子、風(fēng)格因子、以及個股特質(zhì)性收益率對 r_M 的分解。

上式中最后一項是所有股票特質(zhì)性收益的和，由于它的值非常?。ń咏?0），因此在推導(dǎo)的最后一步被忽略了。推導(dǎo)中的核心在于倒數(shù)第三步中的中間兩項如何變?yōu)?0。對于第一個 0，它用到了行業(yè)因子收益率按行業(yè)市值加權(quán)為 0 以排除行業(yè)和國家因子之間的共線性這個約束條件。對于第二個 0，它是根據(jù)風(fēng)格因子是使用流通市值權(quán)重來標(biāo)準(zhǔn)化這個定義來的。由此可見，在 CNE5 模型的定義下，f_C 這個國家因子收益率確實近似的代表了市場組合的收益率，因此國家因子的組合就（近似地）是市場組合。在新版多因子模型中增加這一項是非常必要的。事實上，在對 CNE5 進(jìn)行截面回歸求解后可以發(fā)現(xiàn)，國家因子的投資組合中，個股 n 的權(quán)重 ω_{Cn} 非常接近它的流通市值權(quán)重 s_n。

4 純因子投資組合的性質(zhì)

通過上面的介紹我們已經(jīng)知道，Barra 的截面回歸模型針對國家因子、行業(yè)因子以及風(fēng)格因子分別構(gòu)建了純因子投資組合。那么，這些組合有著怎樣的性質(zhì)呢？

4.1 國家純因子投資組合

由 f_C ≈ r_M 可知，國家純因子投資組合就是近似的市場組合，它是純多頭組合：

4.2 行業(yè)純因子投資組合

行業(yè)因子的純因子投資組合是一個多空組合，它滿足以下特征：

4.3 風(fēng)格純因子投資組合

風(fēng)格因子的純因子投資組合同樣是一個多空組合，它滿足下列特征：

暫時拋開純因子組合的可投資性，上面的結(jié)果對于因子投資有著非常重要的意義。它說明，如果我們從整體上看好市場，那么只需要持有國家因子的純因子組合（即近似的市場組合）；如果我們看好了某些行業(yè)，那么只需要持有那些特定行業(yè)的行業(yè)純因子組合，從而賺取行業(yè)相對于市場的超額收益；如果我們看好了某個風(fēng)格因子（比如小市值、價值等），那么只需要持有這些因子的純因子組合，去賺取通過暴露于這些因子的超額收益。

以上就是 Barra 這個模型的最大意義 —— 它可以針對我們喜歡的因子（無論是市場、行業(yè)或是風(fēng)格），構(gòu)建出純粹的僅僅針對于那些因子的投資組合，從而捕捉這些因子的風(fēng)險收益。

5 理解風(fēng)險因子收益率

經(jīng)過了上一節(jié)的解釋，我們更愿意把因子收益理解為一籃子股票（即圍繞該因子構(gòu)建的投資組合）的共性收益（系統(tǒng)性風(fēng)險溢價）。該投資組合如果賺錢，那么靠的是該投資組合在該風(fēng)險因子上的單位暴露，靠的是該風(fēng)險因子在時間維度上所帶來的有效而穩(wěn)定的風(fēng)險溢價。從風(fēng)險暴露的角度來說，所有股票 —— 無論被做多還是被做空 —— 在該組合中的貢獻(xiàn)都是“一樣的”，都是必不可少的。這和精選個股（通過深度研究或者靠其他歪門邪道）來賺取個股的特質(zhì)性收益 u_n 是完全不同的，因為純因子投資組合中股票的特質(zhì)性收益幾乎為 0。

當(dāng)然，在現(xiàn)實中，我們不得不面對“可投資性”的問題。當(dāng)我們無法按照純因子投資組合的權(quán)重來實際構(gòu)建投資組合（比如無法做空一些股票）時，我們就面臨兩個問題：

以上兩點說明，在種種限制下，如果構(gòu)建的投資組合的權(quán)重和純因子投資組合理論權(quán)重不一致時，該投資組合便沒有有效的暴露在該因子之下，也沒有對其他因子隔離。此外，該組合又引入了無法忽略的特質(zhì)性收益的風(fēng)險。

美國的 AQR 基金寫過一篇文章來分析巴菲特的選股能力（Frazzini et al. 2013）。結(jié)果顯示，巴菲特選股的收益率幾乎可以完全被 1 個市場因子和 5 個風(fēng)格因子的收益率來解釋。它說明巴菲特的投資組合能賺錢是因為它以一定的權(quán)重有效的暴露在了這 6 個因子之中，長期穩(wěn)定地賺取了這 6 個因子的風(fēng)險溢價。巴菲特有一個科學(xué)的價值投資框架來保證它的投資組合對最合理的風(fēng)險因子有著最合理的風(fēng)險暴露，這些風(fēng)險因子的風(fēng)險溢價為他帶來了年復(fù)一年的優(yōu)秀收益。

6 不是所有的風(fēng)險因子都被定價

對 CNE5 的求解僅僅用到了給定時間（比如某月或者某季度）的股票截面數(shù)據(jù)。因此，得到的因子收益率僅僅反映在該時刻因子能取得什么樣的收益。為了驗證一個風(fēng)險因子是否可以有效的帶來超額收益，我們必須在時序上對該因子的收益率做統(tǒng)計分析。

上圖展示了 4 種典型的因子收益率在時間維度上的統(tǒng)計特征：

在評價一個風(fēng)險因子時，應(yīng)按照正確的方法得到每個時間截面的純因子投資組合，進(jìn)而算出每一期的因子收益率。然后，通過對因子收益率的時間序列進(jìn)行統(tǒng)計分析，最終判定該因子能否在長期穩(wěn)定的貢獻(xiàn)超額收益。同時，對因子收益率的統(tǒng)計分析也可以得到因子收益率之間的協(xié)方差矩陣，它是推導(dǎo)個股之間的協(xié)方差矩陣的必要條件之一。

參考文獻(xiàn)

Frazzini, A., D. Kabiller, and L. H. Pedersen (2013). Buffett's alpha. Working paper 19681, National Bureau of Economic Research.

Barra Risk Model Handbook (2007). MSCI.

免責(zé)聲明：入市有風(fēng)險，投資需謹(jǐn)慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見并不構(gòu)成對任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機(jī)構(gòu)不對任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負(fù)任何責(zé)任。除特別說明外，文中圖表均直接或間接來自于相應(yīng)論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。