作者：石川

摘要：為檢驗(yàn)因子是否有顯著的風(fēng)險溢價，首先需要正確計算因子暴露。本文討論了收益率時序回歸 β 和 firm characteristics 作為 β 時的差異，并給出了一些建議。

1 引言

這篇文章關(guān)注的是 empirical asset pricing test 中的 test。它既不介紹異象，也不講述因子，而是著眼于檢驗(yàn)。本文的內(nèi)容雖然重要，但行文非常 technical 且結(jié)論又看似 boring；以“真香”論來看，搞清楚文中的解讀不如記住最后的結(jié)論。另外，本文篇幅較長。鑒于撰寫本文花費(fèi)了較大精力（包括精讀了幾篇 2019 年發(fā)表于頂刊的論文以及進(jìn)行了大量實(shí)證），下周將暫停一次創(chuàng)作，屆時會轉(zhuǎn)載一篇優(yōu)質(zhì)文章。最后，llang lli 和刀疤連對本文的寫作提出了許多寶貴意見，在此特別感謝。正是因?yàn)楹退麄兊姆磸?fù)討論，才使得本文最終變成了我滿意的樣子。

OK，如果你沒有被上述劇透打敗，那讓我們開始吧。

在檢驗(yàn)因子是否有顯著的 risk premium 時，常用的工具是 Fama-MacBeth Regression；而該方法首先需要明確股票在每個因子上的因子暴露（factor exposure，即我們常說的 β）。計算因子暴露有兩種方法：

比較這兩種方法的差異就是本文的目標(biāo)，這也是本文取名 which beta 的原因。由于篇幅較長，為避免各位小伙伴在閱讀過程中 get lost，下面先給出文章的思維導(dǎo)圖。

下面讓我們從 Fama-MacBeth Regression 說起。

2 Fama-MacBeth Regression

Fama-MacBeth Regression 是學(xué)界和業(yè)界檢驗(yàn)因子 risk premium 的主流方法之一（Fama and MacBeth 1973，見《股票多因子模型的回歸檢驗(yàn)》）。它的檢驗(yàn)過程分為兩步：

上述過程的第一步是為了第二步服務(wù)，而第二步具備兩個優(yōu)點(diǎn)：（1）在截面上使用多因子回歸可以考察每個因子對解釋資產(chǎn)預(yù)期收益率差異的增量貢獻(xiàn)；（2）“先單期截面回歸、再從時序上取平均”可以排除殘差收益率的截面相關(guān)性帶來的影響。然而，上述兩步走的過程存在一個不可避免的問題，即第一步通過時序回歸得到的因子暴露僅僅是真實(shí)但未知的 β 的估計，因而存在誤差；將這個 estimate 直接作為解釋變量用在第二步就引入了 errors-in-variables 問題（EIV）。

Fama and MacBeth (1973) 自然意識到了這個問題。為此，在這篇以檢驗(yàn) CAPM 為初衷的文章中，他們并沒有使用個股的收益率，而是將個股按照歷史 β 的大小構(gòu)成了不同的投資組合，然后使用這些投資組合作為資產(chǎn)，放在回歸中的 LHS 檢驗(yàn) CAPM。Black, Jensen, and Scholes (1972) 以及 Fama and MacBeth (1973) 指出：當(dāng)使用投資組合時，個股 β 的估計誤差會相互抵消，因此對投資組合的 β 估計會更準(zhǔn)確，從而在一定程度上降低 EIV 的影響。自此以后，在進(jìn)行 Fama-MacBeth Regression 檢驗(yàn)因子時，使用投資組合而非個股放在 LHS 就成為了學(xué)術(shù)界的標(biāo)配。但有大佬對此頗有微詞，這其中就包括 Fama 的弟子 Richard Roll。

Roll 和他的 co-authors 在 Jegadeesh et al. (2019) 這篇最新發(fā)表于 Journal of Financial Economics 的文章指出將個股按照某種屬性分組實(shí)際上是一種降維處理，投資組合會丟掉很多個股截面上的特征。如果待檢驗(yàn)的因子和這些 LHS 組合的分組屬性正交，用它們作為 LHS 進(jìn)行 Fama-MacBeth Regression 是無法發(fā)現(xiàn)這些因子的 risk premium 的。因此，Jegadeesh et al. (2019) 建議使用個股收益率放在 LHS。

除此之外，學(xué)術(shù)界對于投資組合的過度使用還有另一個不好的 side effect。Fama and French (1993) 三因子的橫空出世，不僅讓人們從此接受了 SMB 和 HML 兩個因子，更讓使用 Size 和 B/M 進(jìn)行 double sort 得到的 5 × 5 一共 25 個投資組合成為了評價不同因子模型時的標(biāo)配。很多模型以能夠在截面上很好的解釋這 25 個資產(chǎn)的預(yù)期收益率為依據(jù)，說明提出的新因子是有效的。對此，另外兩位大佬 Stefan Nagel 和 Jay Shanken 認(rèn)為這是極大的誤解。

Nagel 和 Shanken 在 Lewellen, Nagel, and Shanken (2010) 一文中指出，使用 Size 和 B/M double sort 的這 25 個組合有非常強(qiáng)的 factor structure。任何一個待檢驗(yàn)的因子，如果它們和 HML 或 SMB 的相關(guān)性大于它和這 25 個組合被 HML 和 SMB 解釋后的殘差的相關(guān)性的話，這個新因子就能在這些投資組合的截面上獲得很高的 R2，換句話說，這些組合的 α 會很接近零。因此，哪怕一個因子能夠很好的解釋這 25 個投資組合的截面預(yù)期收益率差異，它也未必是有效的。

以上兩個問題均說明在檢驗(yàn)因子以及因子模型時，僅使用有限個投資組合作為 test assets 不再合適。Lewellen, Nagel, and Shanken (2010) 提出的解決方法之一正是使用更多的投資組合。比如，在 Fama and French (2019) 這篇最新的研究中，他們二位就使用不同的公司指標(biāo)兩兩 double sort 構(gòu)建了 200+ 個投資組合，檢驗(yàn)了時序和截面因子模型的效果。

如今，距離 Fama and MacBeth (1973) 的提出已經(jīng)過去了快 50 年。無論是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展還是學(xué)術(shù)界因子挖掘的日趨嚴(yán)重（factor zoo），都促使我們摒棄投資組合、轉(zhuǎn)而使用個股收益率放在回歸方程的 LHS。當(dāng)使用個股收益率放在 LHS 時，必須盡量排除 EIV 問題、獲得盡可能準(zhǔn)確的因子暴露的估計。為此，Jegadeesh et al. (2019) 提出在 Fama-MacBeth Regression 的第一步時序回歸中引入 Instrumental Variables（IV），它將是下一節(jié)的內(nèi)容。

對 EIV 問題，業(yè)界有著不同的做法。我們熟悉的 Barra 的純因子模型本質(zhì)上正是 Fama-MacBeth Regression。但是它沒有使用第一步時序回歸計算因子暴露，而是使用了 firm characteristics 作為因子暴露，然后進(jìn)行截面回歸。由于不需要估計 β，Barra 在回歸方程的 LHS 使用了個股收益率。當(dāng)然，Barra 多因子模型的目的是為了計算個股的協(xié)方差矩陣，從這個意義上說，LHS 使用投資組合也沒什么道理。當(dāng)把個股收益率放在 LHS 時，比較學(xué)術(shù)界和業(yè)界的在計算因子暴露時的不同做法正是本文背后的動機(jī)。

3 工具變量

在 Fama-MacBeth Regression 中，第二步截面回歸的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

由于采用了個股收益率放在 LHS，因此上式中 r_t 是個股收益率向量；B 是第一步時序回歸得到的因子暴露估計矩陣，它是一個 N × K 階矩陣（N 支個股；K 個因子）；λ 是帶求解的因子 risk premium 向量；ξ_t 是殘差向量。為減少 EIV 問題的影響，Jegadeesh et al. (2019) 在上述 OLS 回歸中引入了 Instrumental Variables，因此得到 λ 的 IV 估計量為：

上式中，B_IV 和 B_EV 分別為 instrumental 和 explanatory variables：B_EV 是對 β 的 estimate；B_IV 是 B_EV 的工具變量。Jegadeesh et al. (2019) 使用互不重疊的歷史數(shù)據(jù)分別進(jìn)行時序回歸求解 B_IV 和 B_EV，并指出正因如此，它們在截面上是不相關(guān)的，可以減少 EIV 問題。具體來說，在每個月末，為了計算最新的 B_IV 和 B_EV，Jegadeesh et al. (2019) 使用過去三年個股的日頻收益率和多因子模型的日頻收益率進(jìn)行時序 multivariate regression：

由于 EIV 問題，F(xiàn)ama-MacBeth Regression 中第二步截面上的 OLS 計算得到的 risk premium 往往是 biased，而多個因子一起的多元截面回歸使得我們無法確定每個因子溢價上 bias 的方向。Jegadeesh et al. (2019) 指出，上述 IV estimate 可以獲得 risk premium 的無偏估計。以 CAPM 單因子為例，下圖給出了 Jegadeesh et al. (2019) 的分析結(jié)果。當(dāng)使用傳統(tǒng)的 OLS 時，對 market risk premium 的估計的 bias 隨著計算 β 的時序窗口增加而減少，但即便是使用了長達(dá) 10 年的數(shù)據(jù)（2500 個交易日），bias 仍然高達(dá) -7% 左右；若采用 IV 估計量，對 market risk premium 的估計是 unbiased。

顯然，即便是對于美股，使用十年滾動窗口來估計 β 都是相當(dāng)奢侈的（況且它還無法消除 bias），更不要提大 A 股了。因此，IV 估計量在估計 risk premium 時優(yōu)勢明顯。下面以中證 500 成分股為例（將它們放在回歸方程的 LHS），檢驗(yàn) Fama and French (2015) 的五因子模型中的因子是否有 risk premium。實(shí)證期為 2010 年 1 月至 2019 年 4 月。在每月末，使用過去兩年的日頻收益率序列估計 B_EV 和 B_EV。作為對比，同時使用不引入 IV 的方法，即使用兩年滾動窗口的全部數(shù)據(jù)估計 β 并將它用在 Fama-MacBeth Regression 的第二步。下表給出了這五個因子的檢驗(yàn)結(jié)果（其中 Test 1 為未引入 IV 的方法；Test 2 為使用 IV estimate 的方法）。

結(jié)果顯示，當(dāng)使用個股作為資產(chǎn)放在 LHS 時，由于 EIV 的問題，F(xiàn)ama-MacBeth Regression 給出的結(jié)論是全部五個因子均沒有顯著的 risk premium —— 即五因子不能有效的解釋個股截面預(yù)期收益的差異。當(dāng)采用 IV estimate 時，SMB 因子變得顯著（其他四個因子仍然不顯著）。這個簡單的結(jié)果表明消除 EIV 問題，即使用更準(zhǔn)確的 β estimate，對于評判一個因子是否有效至關(guān)重要。從上面的結(jié)果可以得到本文 which beta 之問的第一個觀點(diǎn)：在 β 估計時引入 IV 消除 EIV 的影響比直接使用 β 做 OLS 截面回歸能夠獲得更準(zhǔn)確的 risk premium estimate。如果討論就此結(jié)束實(shí)在意猶未盡。事實(shí)上，Jegadeesh et al. (2019) 的實(shí)證分析也未止步于此；他們在 β 的基礎(chǔ)上加入了 firm characteristics。使用時序回歸系數(shù)和 firm characteristics 同時作為 β 也是這兩種方法的直接 PK。

4 公司特征

Jegadeesh et al. (2019) 在美股上使用他們提出的 IV 估計量檢驗(yàn) Fama and French (1993) 三因子模型并發(fā)現(xiàn) SMB 和 HML 確實(shí)有顯著的 risk premium。不過，他們同時指出，以上顯著的結(jié)果可能源自被忽視的變量偏差，即在截面回歸時沒有控制 Size 和 B/M 這些用來構(gòu)建 SMB 和 HML 的公司特征（firm characteristics）。為此，他們將 Size 和 B/M 加入到 Fama-MacBeth Regression 的第二步，和 HML 以及 SMB 的 β estimate 一起進(jìn)行了截面回歸。令人吃驚的是，Jegadeesh et al. (2019) 的實(shí)證結(jié)果（下圖）顯示，當(dāng) Size 和 B/M（或 logB/M） 被加入后，這兩個 firm characteristics 可以獲得顯著的 risk premium，而 SMB 和 HML 的 risk premium 不再顯著。

我們同樣來看看 A 股的實(shí)證結(jié)果。考慮 firm characteristics 之后，把上一節(jié) Test 1 和 Test 2 中分別加入對應(yīng) SMB、HML、RMW、CMA 四因子的公司指標(biāo)得到 Test 3 和 Test 4。在這兩個 tests 中，相應(yīng)的公司指標(biāo)記為 Size（使用的對數(shù)流通市值）、B/P、OP/TA 以及 INV。

引入 firm characteristics 之后，F(xiàn)ama and French (2015) 五因子在中證 500 上均不顯著；而 B/P 和 OP/TA 這兩個公司指標(biāo)可以獲得顯著的 risk premium。Firm characteristics“戰(zhàn)勝”時序回歸 β 的結(jié)果和 Jegadeesh et al. (2019) 在美股上的實(shí)證結(jié)果十分相似（他們針對美股也檢驗(yàn)了五因子模型和 Hou, Xue, and Zhang 2015 的 q-factor 模型，均有類似的發(fā)現(xiàn)）。當(dāng)使用投資組合作為檢驗(yàn)因子的資產(chǎn)時，這些學(xué)術(shù)界的因子的確可以獲得顯著的 risk premium。然而，當(dāng)使用個股收益率、并考慮了 firm characteristics 后，它們均不再顯著。這背后的原因是什么呢？Jegadeesh et al. (2019) 給出了它們的嘗試，無奈最后的結(jié)論是“remains a puzzle”；我們也要給出自己的思考。接下來從以下兩個角度思考這個問題：

5 時序回歸 vs 公司特征

前文中 Test 1 和 Test 2 的結(jié)果說明，當(dāng) LHS 使用個股收益率時，五因子幾乎都無法獲得顯著 risk premium。我們知道，一個隨機(jī)因子是無法獲得 risk premium 的。從這個觀點(diǎn)出發(fā)反推，可以猜測時序回歸得到的 β 在截面上非常不穩(wěn)定，使得這些因子的行為就像隨機(jī)因子一樣。這可能是由于日頻收益率數(shù)據(jù)的高噪音和多元回歸中因子之間的相互影響所致。另一方面，使用 firm characteristics 比使用時序回歸 β 能獲得更顯著的 risk premium，這說明 firm characteristics 對應(yīng)的 pure factor portfolio 能獲得更高的收益率。這意味著與時序回歸的 β 相比，當(dāng)期 firm characteristics 和下一期個股收益率之間的 IC 以及 ICIR 更高。下列實(shí)證結(jié)果也證實(shí)了這個猜想。

下圖是 SMB 因子的時序回歸 β 和 Size 這兩個解釋變量和個股未來收益率之間的 rank IC 時序圖（藍(lán)色為時序回歸 β；黃色為 Size），圖中同時給出了這兩個變量的 IC 均值以及 ICIR（Size 的 IC 均值及 ICIR 為負(fù)說明小市值更好）。結(jié)果顯示，時序回歸得到的 SMB 的 β 和個股收益率的 IC 均值（絕對值）沒有 Size 高；說明 Size 比 SMB β 對于未來收益率更具有預(yù)測性。此外 Size 的 ICIR（絕對值）更高也說明它作為因子暴露，要比 SMB 的 β 更加穩(wěn)定。

在其他三個因子 HML、RMW 以及 CMA 上也能觀察到類似的結(jié)果，這里不再贅述，結(jié)果匯總于以下三張圖。

以上實(shí)證結(jié)果說明，作為因子暴露，firm characteristics 確實(shí)比它們對應(yīng)的因子 β 有更好的預(yù)測性。但這背后的原因是什么呢？近日，Richard Roll 和他的 co-authors 在 Review of Financial Studies 上發(fā)表了一篇題為 A protocol for factor identification 的文章（Pukthuanthong, Roll, and Subrahmanyam 2019），闡述了一個系統(tǒng)識別因子的規(guī)程。這篇文章本身非常值得一讀，不過我提它是因?yàn)橐粋€ side note。

這篇文章最早寫于 2015 年并獲得了 The Q Group 的 Jack Treynor 獎；Richard Roll 也于 2016 年應(yīng)邀做了該文的報告。在報告中，他指出因子本身的運(yùn)動是難以預(yù)測的，因此像 firm characteristics 這些可以提前知道的指標(biāo)不能成為因子。它們能夠獲得風(fēng)險溢價可能有兩個原因：（1）它們是未知因子暴露的 good proxy；（2）它們代表了套利機(jī)會。

我們知道如果以 B/P 來構(gòu)建一個多空組合，該組合的波動其實(shí)是很大的，它并不代表某種無風(fēng)險套利機(jī)會，因此上述第二個原因難以說通。所以，更有可能的是這些 firm characteristics 有效的代表了因子暴露。需要強(qiáng)調(diào)的是，“firm characteristics 是更好的因子暴露”這個觀點(diǎn)仍然是一種猜測。Jegadeesh et al. (2019) 就這一點(diǎn)構(gòu)建了一個假設(shè)，但很遺憾實(shí)證數(shù)據(jù)并沒有支持這個觀點(diǎn)。我們在此給出 which beta 之問的第二個觀點(diǎn)：同時考慮 firm characteristics 和時序回歸系數(shù)時，后者無法獲得顯著 risk premium；從實(shí)證結(jié)果來看，firm characteristics 確實(shí)是更好使的因子暴露，但背后的原因依然未知。

6 結(jié)語

如今，無論是檢驗(yàn)單個因子還是因子模型，僅使用有限個投資組合作為 LHS 都難以令人滿意。正因如此，學(xué)者們提出使用個股的收益率作為 LHS。但由于 EIV 的問題，如何計算個股的因子暴露 β 至關(guān)重要。本文就 which beta 問題進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述。

文章從 Jegadeesh et al. (2019) 提出的 IV estimate 出發(fā)，考慮了時序回歸估計 β，并引入 firm characteristics 作為控制變量，構(gòu)建了一共 4 個 tests 檢驗(yàn)了 Fama and French (2015) 五因子模型在中證 500 上是否能夠獲得顯著 risk premium。作為回顧，這 4 個 tests 的設(shè)定總結(jié)于下表。

綜合本文的實(shí)證結(jié)果，關(guān)于 which beta 的探討得到以下兩個觀點(diǎn)：

正確計算因子暴露至關(guān)重要。例如，在業(yè)績歸因時，如果不知道具體的持倉明細(xì)，就只能把待歸因的收益率作為被解釋變量、把因子收益率作為解釋變量進(jìn)行時序回歸，以回歸系數(shù) β 作為評價的依據(jù)（AQR 用自家的多個風(fēng)格因子對美股上多位傳奇大佬的收益進(jìn)行過業(yè)績歸因）。又如，在構(gòu)建宏觀因子模型（macroeconomic factor models）時，由于宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)不是公司財務(wù)指標(biāo)，因此只能通過時序回歸計算股票在這些因子上的因子暴露（比如常見的對 GDP、利率的敏感度等）。

在 Fama and French (1996) 這篇著名的解讀三因子模型的文章中，兩位作者指出，解釋一支股票的截面收益應(yīng)該關(guān)注的是它和因子之間的 β，而非公司指標(biāo)上的取值 —— 比如 B/P 小的公司如果在 HML 上的暴露大，那么該公司實(shí)際上會被認(rèn)為是價值股，而非成長股。

以上例子都說明，使用時序回歸 β 是符合我們認(rèn)知的。但實(shí)證數(shù)據(jù)顯示的卻又是另一個故事。當(dāng)個股收益率被放在 LHS 時，firm characteristics 完勝時序回歸系數(shù)：前者能獲得 risk premium，但后者卻不行。而 Jegadeesh et al. (2019) 的分析表明，firm characteristics 作為因子暴露時，它們和未來因子暴露之間的相關(guān)性甚至還低于使用歷史數(shù)據(jù)時序回歸的 β 和未來因子暴露的相關(guān)性。這就是為什么他們把這個現(xiàn)象稱作未解之謎。

對于到底該使用時序回歸系數(shù)還是 firm characteristics 作為因子暴露，《股票多因子模型的回歸檢驗(yàn)》的第六節(jié)曾有過簡單討論（今天算是個進(jìn)階版）。盡管在實(shí)證中 firm characteristics 獲得了顯著的 risk premium，用它作為因子暴露也不能說 100% 有道理。從多因子模型來說，股票在因子上的收益正比于它們的因子暴露。但像對數(shù)市值或 P/B 這些指標(biāo)，即使公司 A 的指標(biāo)是公司 B 的兩倍，也不能說 A 在該因子上獲得的收益率就是 B 的兩倍；從因子模型的本質(zhì)來說，收益率時序回歸系數(shù)作為因子暴露更加合理。但另一方面，當(dāng)公司基本面發(fā)生較大變化時，回歸系數(shù)的變化又不能及時、準(zhǔn)確的反映股票在因子上暴露的變化。無論如何，選擇正確的因子暴露是我們需要解決的問題。

從“真香”的角度來說，似乎使用 firm characteristics 無可厚非；但是從真相的角度來說，我們還有很長的路要走。

So, which beta?

參考文獻(xiàn)

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