作者：石川

摘要：基于?A?股的實(shí)證顯示，使用市場(chǎng)估值指標(biāo)后，發(fā)生市場(chǎng)下行的條件概率顯著高于非條件概率。市場(chǎng)整體估值對(duì)預(yù)測(cè)股災(zāi)有一定的作用。

1 引言

預(yù)測(cè)市場(chǎng)下行風(fēng)險(xiǎn)不僅是量化投資中的一個(gè)熱門課題，對(duì)于高波動(dòng)的?A?股市場(chǎng)有更重要的實(shí)踐意義。學(xué)術(shù)界的預(yù)測(cè)模型主要包括基本面模型、統(tǒng)計(jì)模型和行為模型三大類（下表）。

無(wú)論采用哪種模型，其目標(biāo)是給出未來(lái)一段時(shí)間市場(chǎng)發(fā)生給定程度以上跌幅的條件概率。如果預(yù)測(cè)準(zhǔn)確，它可以幫我們有效的規(guī)避下行風(fēng)險(xiǎn)、降低投資損失。近三十年來(lái)，學(xué)術(shù)界使用以上模型針對(duì)海外股市進(jìn)行了大量的研究。然而由于?A?股的年頭較短，這方面的研究相對(duì)欠缺。近日，一篇發(fā)表在?Journal?of?Portfolio?Management?的文章對(duì)于?A?股進(jìn)行了相關(guān)研究（Lleo?and?Ziemba?2018）。該文使用基本面模型中的估值指標(biāo)?——?BSEYD、P/E、CAPE?——?對(duì)滬、深兩市的下行風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)建了預(yù)測(cè)模型和準(zhǔn)確性檢驗(yàn)。從結(jié)果來(lái)看，使用估值指標(biāo)可以顯著提高市場(chǎng)下行風(fēng)險(xiǎn)的條件概率，對(duì)預(yù)測(cè)股災(zāi)有一定作用。本文簡(jiǎn)要介紹?Lleo?and?Ziemba?(2018)。

2 下行樣本識(shí)別

研究的第一步是識(shí)別下行樣本。根據(jù)?Lleo?and?Ziemba?(2018)?的定義，一個(gè)下行樣本始于某局部高點(diǎn)（該交易日稱為?Peak?Date）、止于某局部低點(diǎn)（該交易日稱為?Trough?Date），且兩者之間的跌幅不小于?10%。此外，對(duì)于一個(gè)下行樣本，還有一個(gè)非常重要的概念?——?Crash Identification Date，即下行（或股災(zāi)）識(shí)別日。

從任意局部高點(diǎn)開(kāi)始，如果在后續(xù)的某個(gè)交易日的收盤價(jià)滿足下行識(shí)別日條件，該交易日被選做下行識(shí)別日，從而確定了下行樣本，該下行樣本直到再后面的某個(gè)局部低點(diǎn)結(jié)束。Lleo and Ziemba (2018) 對(duì)于下行識(shí)別日需要滿足的條件限制十分苛刻，目的是為了保證算法找出的下行樣本相互獨(dú)立，否則在市場(chǎng)連續(xù)長(zhǎng)時(shí)間陰跌的時(shí)期，挑出的下行樣本可能出現(xiàn)相互重疊的現(xiàn)象。

下行識(shí)別日在?Lleo?and?Ziemba?(2018)?的模型中的作用十分關(guān)鍵。本文第四節(jié)中我們會(huì)看到，在評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)模型準(zhǔn)確性時(shí)也會(huì)用到它。下圖是上證指數(shù)上的一個(gè)下行樣本。根據(jù)Lleo?and?Ziemba?(2018)?的識(shí)別算法，它從?2002/07/08?開(kāi)始（收盤價(jià)?1732.93），然而它并沒(méi)有在圖中第一個(gè)“深溝”即?2003/01/03?日結(jié)束。其原因是算法確認(rèn)的下行識(shí)別日是?2003/04/23，晚于第一個(gè)“深溝”的日期。最終，這段下行樣本止于?2003/11/18（收盤價(jià)?1316.56），跌幅超過(guò)?24%。

實(shí)證中，Lleo?and?Ziemba?(2018)?分別考慮了?1990?年到?2016?年的上證指數(shù)和深證綜指（399106）。按照上述說(shuō)明，他們?cè)跍⑸顑墒蟹謩e找到了?22?和?21?個(gè)下行區(qū)間，分別匯總于下表中。接下來(lái)就是針對(duì)這些下行樣本構(gòu)建預(yù)測(cè)模型。

3 預(yù)測(cè)模型

下行風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)模型使用選定的基本面估值指標(biāo)計(jì)算信號(hào)：信號(hào)等于?1?說(shuō)明在未來(lái)有跌幅超過(guò)?10%?的下行風(fēng)險(xiǎn)；信號(hào)為?0?說(shuō)明沒(méi)有該風(fēng)險(xiǎn)。此外，Lleo?and?Ziemba?(2018)?給出了評(píng)價(jià)該模型準(zhǔn)確性的算法。本節(jié)和下節(jié)分別介紹預(yù)測(cè)模型和評(píng)價(jià)模型準(zhǔn)確性的算法。預(yù)測(cè)模型的原理非常簡(jiǎn)單。假設(shè)基本面指標(biāo)在交易日?t?的取值為?M_t，使用該指標(biāo)在過(guò)去一段長(zhǎng)度為?d?的窗口內(nèi)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出一個(gè)閾值?K_t；如果?M_t?>?K_t，則認(rèn)為市場(chǎng)估值過(guò)高，因而下行風(fēng)險(xiǎn)信號(hào)?S_t?=?1、反之則認(rèn)為下行風(fēng)險(xiǎn)信號(hào)?S_t?=?0。

在計(jì)算閾值?K_t?時(shí)，Lleo?and?Ziemba?(2018)?選擇的滾動(dòng)窗口長(zhǎng)度?d?為?252?個(gè)交易日，從而動(dòng)態(tài)計(jì)算不同市場(chǎng)環(huán)境下估值的閾值。在具體計(jì)算?K_t?時(shí)，他們采用了兩種方法：（1）正態(tài)分布假設(shè)；（2）Cantelli?不等式。由于僅考慮估值過(guò)高風(fēng)險(xiǎn)，故采用單邊?95%?的置信區(qū)間。在正態(tài)分布的假設(shè)下，該閾值?K_t?對(duì)應(yīng)均值加上?1.645?個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差：

考慮到市場(chǎng)估值指標(biāo)在任意一段給定長(zhǎng)度為?d?的窗口內(nèi)不一定很好的滿足正態(tài)分布假設(shè)，Lleo?and?Ziemba?(2018)?同時(shí)使用了Cantelli?不等式作為另外一種計(jì)算閾值?K_t?的方法。該不等式是我們熟悉的?Chebyshev’s?inequality（切比雪夫不等式）的單尾形式。對(duì)于未知分布的隨機(jī)變量?M，假設(shè)其均值和標(biāo)準(zhǔn)差為?μ?和?σ，由?Cantelli?不等式有：

上式中，另?β?=?1/(1+γ2)?可得：

在模型中，Lleo?and?Ziemba?(2018)?選擇?β?=?0.25，對(duì)應(yīng)?σ?的乘數(shù)為?1.732，比正態(tài)分布下的?1.645?略高。采用上述正態(tài)分布模型或?Cantelli?不等式即可計(jì)算出給定交易日?t?的估值閾值上限?K_t。通過(guò)比較當(dāng)日實(shí)際估值指標(biāo)?M_t?和?K_t?的關(guān)系，就能發(fā)出市場(chǎng)是否在未來(lái)出現(xiàn)下行風(fēng)險(xiǎn)的信號(hào)?S_t。在這個(gè)判斷中，必須要回答的另一個(gè)問(wèn)題就是：這個(gè)信號(hào)管多久?——?市場(chǎng)在未來(lái)多長(zhǎng)時(shí)間窗口內(nèi)（記為?H）會(huì)出現(xiàn)?10%?以上的下行風(fēng)險(xiǎn)。H?的選擇是預(yù)測(cè)模型設(shè)定問(wèn)題，在?Lleo?and?Ziemba?(2018)?中其取值為?252?個(gè)交易日。

4 模型準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)

接下來(lái)介紹如何評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性。當(dāng)模型給出?S_t?=?1?的信號(hào)后，如果在?t?之后的?H?個(gè)交易日內(nèi)包含了某個(gè)下行識(shí)別日（回想一下第二節(jié)的定義），那么則認(rèn)為發(fā)生了市場(chǎng)下行（記為?C_{t,?H}?=?1）、模型信號(hào)準(zhǔn)確。根據(jù)這個(gè)定義，預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性可以由下面這個(gè)條件概率度量：

因此，只需找出實(shí)證期內(nèi)所有獨(dú)立的?S_t?=?1?信號(hào)（為排除市場(chǎng)的自相關(guān)性，只有當(dāng)兩個(gè)下行風(fēng)險(xiǎn)信號(hào)相差?30?個(gè)交易日時(shí)才被視作獨(dú)立信號(hào)），并考察每個(gè)信號(hào)之后的?H?個(gè)交易日是否包含下行識(shí)別日，即可計(jì)算出上述條件概率。數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知，使用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的條件概率也是模型準(zhǔn)確性的?maximum?likelihood?estimate（具體推導(dǎo)請(qǐng)見(jiàn)?Lleo?and?Ziemba?2018，這里不再贅述）。

由于?A?股牛短熊長(zhǎng)、波動(dòng)巨大的特點(diǎn)，從任何一個(gè)天往后看?252（H?的取值）個(gè)交易日，出現(xiàn)下行風(fēng)險(xiǎn)（跌?10%?以上）的先驗(yàn)概率都很大（實(shí)證數(shù)據(jù)顯示，這個(gè)先驗(yàn)概率大概是?70%?左右）。只有當(dāng)預(yù)測(cè)模型給出的條件概率顯著高于這個(gè)非條件先驗(yàn)概率時(shí)，我們才能說(shuō)使用估值指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)能帶來(lái)一定的價(jià)值。出于這個(gè)考慮，Lleo?and?Ziemba?(2018)?使用?Likelihood?Ratio?Test?對(duì)此進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)。該檢驗(yàn)的?null?hypothesis?是?p?=?p_0，這里?p_0?是下行先驗(yàn)概率?——?即在實(shí)證期內(nèi)任選一天，在其后?252?個(gè)交易日內(nèi)包含下行識(shí)別日的概率。該假設(shè)的?Likelihood?Ratio?Test?如下：

其中?L?為?likelihood?function，\hat?p?是預(yù)測(cè)模型給出的條件概率（p?=?\hat?p?為?alternative?hypothesis）。使用?Λ?定義?test?statistic：Y?=?-2logΛ，它滿足自由度為?1?的?chi-squared?分布，其?10%、5%、1%?顯著性水平下對(duì)應(yīng)的閾值分別為?2.71、3.83?和?6.63。如果實(shí)證數(shù)據(jù)給出的?Y?值超過(guò)上述某個(gè)閾值，則我們就可以在相應(yīng)的顯著性水平下拒絕原假設(shè)。

5 實(shí)證結(jié)果

下面來(lái)看實(shí)證結(jié)果。Lleo?and?Ziemba?(2018)?首先考察了?P/E?和?log(P/E)?兩個(gè)市場(chǎng)估值指標(biāo)。下表總結(jié)了模型的預(yù)測(cè)結(jié)果以及準(zhǔn)確性分析結(jié)果，其中對(duì)于滬、深兩市各有四行，這是因?yàn)閷?duì)于每個(gè)指標(biāo)，都分別有兩種計(jì)算閾值的方法?——?正態(tài)分布和?Cantelli?不等式。

以上證指數(shù)為例，P/E?指標(biāo)在這使用這兩種計(jì)算閾值方法時(shí)，分別給出了?19?和?18?次下行風(fēng)險(xiǎn)信號(hào)，其中正確的次數(shù)分別為?17?和?16?次，因此條件概率高達(dá)?89%?上下。另一方面，對(duì)于上證指數(shù)，出現(xiàn)下行風(fēng)險(xiǎn)的非條件先驗(yàn)概率為?70%。通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)可知，test?statistic?Y?的取值在這兩種方法下分別為?4.31（5%?的顯著性水平）和?3.81（10%?的顯著性水平），因此可以說(shuō)基于?P/E?估值指標(biāo)的預(yù)測(cè)模型對(duì)于鑒別市場(chǎng)下行風(fēng)險(xiǎn)提供了顯著的增量信息。我們可以對(duì)上表中其他各行的結(jié)果做類似的解讀。

除了預(yù)測(cè)信號(hào)的準(zhǔn)確性外，我們也關(guān)注召回率。對(duì)于滬深兩市，在整段實(shí)證期內(nèi)分別由?22?和?21?次下行樣本。使用?P/E?及?log(P/E)，在上證指數(shù)上正確找到?17?個(gè)，召回率為?77%；而在深證綜指上正確找出?8?個(gè)，召回率僅有可憐的?38%。該模型的召回率在滬深兩市上的巨大差異值得進(jìn)一步的研究。除了?P/E?和?log(P/E)?之外，Lleo?and?Ziemba?(2018)?還考慮了其他估值指標(biāo)：BSEYD、log(BSEYD)、CAPE、log(CAPE)。由于計(jì)算?CAPE?需要用到十年的歷史數(shù)據(jù)，因此預(yù)測(cè)模型的實(shí)證期為?2005?年到?2016?年。下表給出了不同估值指標(biāo)的預(yù)測(cè)結(jié)果。

首先需要插一句的是，上表中特別用紅框標(biāo)出來(lái)的部分應(yīng)該是?typo。根據(jù)?Lleo?and?Ziemba?(2018)?上下文的描述，對(duì)于上證指數(shù)，CAPE?和?log(CAPE)?應(yīng)該各自發(fā)出了?3?次信號(hào)、而非?5?次，且?3?次全部正確，因此準(zhǔn)確率才有?100%。在此特別“鄙視”一下審稿人。

For the SHCOMP, none of the measures produced more than five signals. The CAPE, logCAPE, and BSEYD10 generated?three?signals each.

下面來(lái)討論結(jié)果。非常有意思的是，對(duì)于?2005?年之后的市場(chǎng)，該模型?——?無(wú)論使用什么指標(biāo)?——?在滬、深兩市上的效果較整段實(shí)證期來(lái)說(shuō)發(fā)生了反轉(zhuǎn)。對(duì)于深證綜指，這些指標(biāo)的準(zhǔn)確率和召回率都更高，而對(duì)于上證指數(shù)，僅?CAPE?和?log(CAPE)?較非條件先驗(yàn)概率顯著的提升了準(zhǔn)確性。然而從召回率來(lái)看，自?2005?年到?2016?年之間，上證指數(shù)一共出現(xiàn)?6?次下行樣本，而上述兩個(gè)指標(biāo)僅找到三次，召回率僅有?50%。Lleo?and?Ziemba?(2018)?對(duì)于模型在滬、深兩市上的差異也做了思考。除了樣本量較少造成的誤差之外，二位作者認(rèn)為該分歧也和滬深兩市上市公司的屬性差異很大有關(guān)。上交所的上市公司多為國(guó)有企業(yè)，而深交所的上市公司多為民營(yíng)企業(yè)。二位作者猜測(cè)，政府對(duì)國(guó)有企業(yè)支持而造成對(duì)市場(chǎng)的干預(yù)，有可能會(huì)推遲和減少下行風(fēng)險(xiǎn)的出現(xiàn)，從而影響預(yù)測(cè)模型的效果。

6 結(jié)語(yǔ)

預(yù)測(cè)市場(chǎng)什么時(shí)候要?crash?從來(lái)就不容易。將市場(chǎng)的?P/E?或者?CAPE?這類估值指標(biāo)和未來(lái)收益率關(guān)聯(lián)起來(lái)的嘗試并也不是什么新鮮事物，但希望?Lleo?and?Ziemba?(2018)?在?A?股上的實(shí)證結(jié)果能給我們一些啟發(fā)。2014 年，Robert Shiller 教授紐約時(shí)報(bào)上撰文稱，提出 CAPE 的目的不是為了預(yù)測(cè)市場(chǎng)未來(lái)的漲跌，而是希望在市場(chǎng)估值過(guò)高時(shí)引發(fā)人們的思考。

The CAPE was never intended to indicate exactly when to buy and to sell.?The market could remain at these valuations for years. But we should recognize that we are in an unusual period, and that it’s time to ask some serious questions about it.

從?Lleo?and?Ziemba?(2018)?的結(jié)果以及其他針對(duì)?A?股的實(shí)證分析來(lái)看，過(guò)高估值和未來(lái)的下行風(fēng)險(xiǎn)之間肯定存在著某種正相關(guān)性。然而，要想利用這種相關(guān)性、將其作為整套量化系統(tǒng)（特別是風(fēng)險(xiǎn)管理）的一部分，或者使用它進(jìn)行市場(chǎng)或者其他風(fēng)格因子擇時(shí)，仍有很多的問(wèn)題需要解答。

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